(1/2)^{2x} - (1/2)^{x-2} - 32 = 0

Задача: (1/2)^{2x} - (1/2)^{x-2} - 32 = 0

Пояснение, шаг за шагом

1. Введём замену

• Пусть t = (1/2)^x. Тогда (1/2)^{2x} = ((1/2)^x)^2 = t^2.
• Нужно выразить (1/2)^{x-2} через t. Используем свойство a^{b-c} = a^b / a^c: (1/2)^{x-2} = (1/2)^x · (1/2)^{-2} = t · 4 = 4t.

2. Приведём уравнение к квадратному original: (1/2)^{2x} - (1/2)^{x-2} - 32 = 0 подставляем t: t^2 - 4t - 32 = 0

3. Решим квадратное уравнение

• Δ = (-4)^2 - 4·1·(-32) = 16 + 128 = 144
• t = [4 ± √144] / 2 = [4 ± 12] / 2
  • t1 = (4 + 12)/2 = 16/2 = 8
  • t2 = (4 - 12)/2 = (-8)/2 = -4

4. Учитываем ограничение на t

• t = (1/2)^x > 0 для всех действительных x, поэтому t = -4 отвергаем.
• Остаётся t = 8.

5. Решим для x

• (1/2)^x = 8 = 2^3 и (1/2)^x = 2^{-x} → 2^{-x} = 2^3
• Отсюда -x = 3 → x = -3

6. Проверка

• (1/2)^{2(-3)} = (1/2)^{-6} = 2^6 = 64
• (1/2)^{(-3)-2} = (1/2)^{-5} = 2^5 = 32
• Левая часть: 64 - 32 - 32 = 0, проверка верна.

Ответ: x = -3.