Точки А и С расположены по одну сторону от прямой, к которой от обеих точек проведены перпендикуляры АВ и CD равной длины. Определи величину угла / АВС, если ZADB=57°.

Решение (цель: понять).

Дано: прямая l, A и C с одной стороны от неё; AB ⟂ l, CD ⟂ l и AB = CD. Пусть B и D лежат на прямой l, а A и C — на одной стороне над ней. Обозначим высоту AB = CD = h и положение B = (0,0), A = (0,h). Пусть D = (d,0), тогда C = (d,h).

1. Найдём отношение h к d из условия ∠ADB = 57°.

• Вектор DA = A − D = (−d, h), DB = B − D = (−d, 0).
• Косинус угла ∠ADB: cos(∠ADB) = (DA · DB) / (|DA||DB|) = d^2 / (|d| sqrt(d^2 + h^2)) = |d| / sqrt(d^2 + h^2).
• Обозначим ∠ADB как θ = 57°. Тогда sqrt(d^2 + h^2) = |d| / cos θ, откуда h^2 = d^2 (1/cos^2 θ − 1) = d^2 tan^2 θ. Следовательно h = |d| tan θ (при d > 0 можно писать h = d tan θ).

2. Найдём угол ∠ABC.

• Векторы: BA = A − B = (0, h), BC = C − B = (d, h).
• cos(∠ABC) = (BA · BC) / (|BA||BC|) = h^2 / (h sqrt(d^2 + h^2)) = h / sqrt(d^2 + h^2).
• Подставим h = d tan θ и sqrt(d^2 + h^2) = sqrt(d^2 + d^2 tan^2 θ) = |d| sec θ. Тогда cos(∠ABC) = (d tan θ) / (d sec θ) = tan θ · cos θ = sin θ.
• Значит ∠ABC = arccos(sin θ). Поскольку θ = 57° и оба угла острые, получаем ∠ABC = 90° − θ = 33°.

Ответ: ∠ABC = 33°.