"Диагностика 30 машин в автосервисе показала, что у 5 машин нужно заменить тормозные колодки, а у 10 машин - заменить воздушный фильтр (колодки и фильтр требуют замены независимо…
"Диагностика 30 машин в автосервисе показала, что у 5 машин нужно заменить тормозные колодки, а у 10 машин - заменить воздушный фильтр (колодки и фильтр требуют замены независимо друг от друга). Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях вне зависимости от того, какие машины нуждаются в замене фильтра, а какие - в замене колодок.1) Найдётся 6 машин, в которых нужно поменять и колодки, и фильтр.2) Найдётся 9 машин, в которых не нужно менять ни колодки, ни фильтр.3) Не найдётся 7 машин, в которых нужно менять и колодки, и фильтр.4) Если в машине нужно менять колодки, то фильтр тоже нужно менять.В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов."
Класс, давай разберёмся по шагам.
У нас есть 30 машин. Обозначим:
- A — машины, которым нужно заменить тормозные колодки; |A| = 5
- B — машины, которым нужно заменить воздушный фильтр; |B| = 10
Нужно понять, какие утверждения верны независимо от того, какие конкретно машины попадают в A и B (то есть для любых конфигураций с такими размерами множеств).
Пусть x = |A ∩ B| — число машин, которым нужно менять и колодки, и фильтр. Так как |A| = 5 и |B| = 10, возможно x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Проверяем утверждения:
- Найдётся 6 машин, в которых нужно поменять и колодки, и фильтр.
- Максимум пересечения x равен 5. Значит утверждение ложно во всех случаях. 1 неверно.
- Найдётся 9 машин, в которых не нужно менять ни колодки, ни фильтр.
- Число neither равно |A^c ∩ B^c| = 30 - |A ∪ B| = 30 - (|A| + |B| - x) = 30 - (5 + 10 - x) = 15 + x.
- При x ∈ [0,5] это число лежит в диапазоне от 15 до 20. 9 не может быть. Значит утверждение ложно во всех случаях. 2 неверно.
- Не найдётся 7 машин, в которых нужно менять и колодки, и фильтр.
- Так как x ≤ 5, утверждение о существовании 7 машин с одновременной заменой неверно в любом случае. Значит утверждение истинно во всех случаях. 3 верно.
- Если в машине нужно менять колодки, то фильтр тоже нужно менять.
- Это эквивалентно A ⊆ B. Но такой зависимости нет: можно выбрать 5 машин для A, которые не попадают в B (раз есть место, ведь 5 + 10 ≤ 30). Значит утверждение не обязательно выполняется и ложно в общем случае. 4 неверно.
Итог: верно только утверждение 3.
Твой ответ: 23.
- Это означает, что ты посчитал верными 2 и 3. Но 2 неверно, поэтому твой ответ неверен. Правильный набор утверждений — только 3.
Важно: в описании твоего «правильного решения» встречается противоречие (там сказано, что 2 верно). По логике задачи и по всем возможным конфигурациям набор 2 не может быть верным.
Поставь лайк, если всё понятно, или дизлайк, если хочешь ещё раз разобрать другой вариант решения.
Хочешь, попробуем ещё пару примеров на похожую логику?
