Цель: доказать, что плоскость a параллельна плоскости b, если две пересекающиеся прямые m и n, лежащие в плоскости a, параллельны плоскости b.
Дано:
- m и n — две прямые, лежащие в плоскости a, и они пересекаются (могут иметь общую точку).
- m ∥ b и n ∥ b (между каждой из этих прямых и плоскостью b нет общего пункта, т.е. они не пересекают b).
Докажем от противного. Пусть плоскости a и b не параллельны, то есть пересекаются. Их пересечение — это линия l = a ∩ b, которая лежит как в a, так и в b.
Истина противоречия:
- Так как m ∥ b, прямая m не пересекает плоскость b. Значит m не пересекает и любую ее подлинную часть, в том числе не пересекает линию l, потому что l ⊂ b. Следовательно m ∩ l = ∅.
- Аналогично n ∥ b => n ∩ l = ∅.
В плоскости a две прямые m и l: если они не пересекаются, значит они параллельны друг другу (межплоскостная параллельность переносится в саму плоскость a). Следовательно m ∥ l. Аналогично из n ∥ b получаем n ∥ l.
Следовательно, в плоскости a обе прямые m и n параллельны одной и той же линии l. Тогда m ∥ n. Но условие задачи требует, чтобы m и n пересекались. Противоречие.
Значит предположение о том, что плоскости a и b пересекаются, неверно. Следовательно плоскости a и b не пересекаются и являются параллельными (в классическом определении: параллельны, если не пересекаются). Вариант совпадения плоскостей здесь противоречит данному условию о параллельности прямых, потому что если бы a = b, то каждая прямая, лежащая в a, уже лежала бы и в b и не была бы параллельной b в обычном смысле.
Итог: плоскости a и b параллельны.
