Решите систему уравнений графически и аналитически: x ^ 2 + y ^ 2 = 4; x - y = 2

Задача: решить систему графически и аналитически: x^2 + y^2 = 4 x - y = 2 Аналитическое решение (пошагово): - Из уравнения второй прямой: x - y = 2 ⇒ x = y + 2. - Подставим в окружность: (y + 2)^2 + y^2 = 4. Раскрываем скобки: y^2 + 4y + 4 + y^2 = 4 ⇒ 2y^2 + 4y = 0. Вынесем общие множители: 2y(y + 2) = 0 ⇒ y = 0 или y = -2. - Найдем соответствующие x: - Если y = 0 ⇒ x = 2. - Если y = -2 ⇒ x = 0. - Ответ: пары (2, 0) и (0, -2). Альтернативный аналитический путь (где-y=x-2): - Из x - y = 2 получаем y = x - 2. - Подставляем в окружность: x^2 + (x - 2)^2 = 4 ⇒ x^2 + x^2 - 4x + 4 = 4 ⇒ 2x^2 - 4x = 0. ⇒ 2x(x - 2) = 0 ⇒ x = 0 или x = 2. - Соответственно y = x - 2 ⇒ y = -2 или y = 0. - Те же точки: (0, -2) и (2, 0). Графическое решение (интуитивно, без вычислений): - Постройте окружность радиуса 2 с центром в начале координат: x^2 + y^2 = 4. - Постройте прямую x - y = 2, то есть y = x - 2 (наклон 1, пересечение оси y в -2). - Точка пересечения прямой и круга может быть двумя точками, и они совпадают с аналитически найденными: (2, 0) и (0, -2). - Геометрическое примечание: расстояние от центра круга до прямой равно d = |0 - 0 - 2| / sqrt(1^2 + (-1)^2) = 2 / sqrt(2) = sqrt(2) < радиус 2, значит две точки пересечения.Их расстояние между собой по линейке равно 2*sqrt(r^2 - d^2) = 2*sqrt(4 - 2) = 2*sqrt(2). Итоговый ответ: решения системы — (2, 0) и (0, -2).