Решите систему уравнений графически и аналитически: x ^ 2 + y ^ 2 = 4; x - y = 2

Задача: решить систему графически и аналитически: x^2 + y^2 = 4 x - y = 2

Аналитическое решение (пошагово):

• Из уравнения второй прямой: x - y = 2 ⇒ x = y + 2.
• Подставим в окружность: (y + 2)^2 + y^2 = 4. Раскрываем скобки: y^2 + 4y + 4 + y^2 = 4 ⇒ 2y^2 + 4y = 0. Вынесем общие множители: 2y(y + 2) = 0 ⇒ y = 0 или y = -2.
• Найдем соответствующие x:
  • Если y = 0 ⇒ x = 2.
  • Если y = -2 ⇒ x = 0.
• Ответ: пары (2, 0) и (0, -2).

Альтернативный аналитический путь (где-y=x-2):

• Из x - y = 2 получаем y = x - 2.
• Подставляем в окружность: x^2 + (x - 2)^2 = 4 ⇒ x^2 + x^2 - 4x + 4 = 4 ⇒ 2x^2 - 4x = 0. ⇒ 2x(x - 2) = 0 ⇒ x = 0 или x = 2.
• Соответственно y = x - 2 ⇒ y = -2 или y = 0.
• Те же точки: (0, -2) и (2, 0).

Графическое решение (интуитивно, без вычислений):

• Постройте окружность радиуса 2 с центром в начале координат: x^2 + y^2 = 4.
• Постройте прямую x - y = 2, то есть y = x - 2 (наклон 1, пересечение оси y в -2).
• Точка пересечения прямой и круга может быть двумя точками, и они совпадают с аналитически найденными: (2, 0) и (0, -2).
• Геометрическое примечание: расстояние от центра круга до прямой равно d = |0 - 0 - 2| / sqrt(1^2 + (-1)^2) = 2 / sqrt(2) = sqrt(2) < радиус 2, значит две точки пересечения.Их расстояние между собой по линейке равно 2sqrt(r^2 - d^2) = 2sqrt(4 - 2) = 2*sqrt(2).

Итоговый ответ: решения системы — (2, 0) и (0, -2).