В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону H(t)= at^2+ bt + H0, где H - высота столба воды в метрах, = 7,5 м - начальный уровень воды, а = 1/72м/мин и b = -2/3м/мин -- постоянные, t -- время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. Сколько минут вода будет вытекать из бака?

Найдём время, когда высота столба воды H(t) станет нулём. H(t) = (1/72) t^2 + (-2/3) t + 7.5 = 0, где H0 = 7.5 м. Вычислим дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-2/3)^2 - 4*(1/72)*(7.5) = 4/9 - 4*(1/72)*(15/2) = 4/9 - 5/12 = 1/36. Корни: t = [-b ± sqrt(D)] / (2a) = [2/3 ± 1/6] / (1/36). Тогда t1 = (2/3 - 1/6)/(1/36) = (1/2)/(1/36) = 18 минут, t2 = (2/3 + 1/6)/(1/36) = (5/6)/(1/36) = 30 минут. Физически вода будет вытекать до момента, когда высота достигнет нуля впервые, то есть при t = 18 мин. Ответ: 18 минут. Источник второго корня (30 мин) не нужен, он соответствует математическому пересечению нуля после опустошения бака.