Построить график функций и решить уравнение y 6/x=x a) 6/х=х б) 6/х=-х+6

Задача: построить график функций и решить уравнения a) 6/x = x б) 6/x = -x + 6 Замечание по графикам (для наглядности): - График y = 6/x — гипербола, асимптоты по оси x и по оси y. Работает в квадрантах I и III (при x > 0 и x < 0 соответственно). - График y = x — прямая с углом наклона 1. - График y = -x + 6 — прямая с углом наклона -1, пересечение осей в (0,6) и (6,0). Часть a) 6/x = x 1) Поскольку x ≠ 0, умножаем обе стороны на x: 6 = x^2 2) Решение: x^2 = 6, значит x = √6 или x = -√6. 3) Соответствующие y: из x = √6 получаем y = x = √6; из x = -√6 — y = x = -√6. 4) Точки пересечения графиков: - (√6, √6) ≈ (2.449, 2.449) - (-√6, -√6) ≈ (-2.449, -2.449) Итог: уравнение 6/x = x имеет два решения x = ±√6, точки пересечения с графиком y = x — вышеуказанные. Часть б) 6/x = -x + 6 1) Опять x ≠ 0. Умножаем обе стороны на x: 6 = -x^2 + 6x 2) Переведём в квадратное уравнение: x^2 - 6x + 6 = 0 3) Решение квадр. уравнения: D = 36 - 24 = 12, sqrt(D) = 2√3 x = [6 ± 2√3]/2 = 3 ± √3 Т.е. x1 = 3 + √3, x2 = 3 - √3 4) Соответствующие y (используем y = -x + 6): - Для x1 = 3 + √3: y1 = - (3 + √3) + 6 = 3 - √3 - Для x2 = 3 - √3: y2 = - (3 - √3) + 6 = 3 + √3 5) Точки пересечения графиков: - (3 + √3, 3 - √3) ≈ (4.732, 1.268) - (3 - √3, 3 + √3) ≈ (1.268, 4.732) Дополнительно (для построения графиков): - Для y = 6/x можно взять точки: (1,6), (2,3), (3,2), (6,1) и симметрично влиться в другие квадранты. - Прямая y = x пересекает гиперболу в точках из части a. - Прямая y = -x + 6 пересекает гиперболу в точках из части б; её пересечения находятся в первом квадранте (оба найденных точки имеют положительные координаты). Ответы: - a) Solutions: x = ±√6; пересечения: (√6, √6) и (-√6, -√6). - б) Solutions: x = 3 ± √3; пересечения: (3 + √3, 3 - √3) и (3 - √3, 3 + √3).