Накреслити графік функції у=х2(1-х2)

Вот подробное решение и план построения графика функции y = x^2(1 - x^2) = x^2 - x^4. 1) Общие сведения - Домена: все вещественные числа (полином). - Форма графика: степени x^4 с отрицательным коэффициентом ведущего члена, график тянется вниз при |x|→∞. - Функция чётно-симметрична: y(-x) = y(x). 2) Корни и пересечения с осями - Равенство нулю: y = x^2(1 - x^2) = 0. - x^2 = 0 ⇒ x = 0 (кратность 2), - 1 - x^2 = 0 ⇒ x = ±1. - Пересечение с осью y: при x = 0, y = 0. Значит ось y также проходит через (0, 0). - Итого: нули графика в x = -1, 0, 1. 3) Производные и характер кривой - Поставим производную: y = x^2 - x^4, тогда y' = 2x - 4x^3 = 2x(1 - 2x^2). - Критические точки: y' = 0 при x = 0 и при x^2 = 1/2 ⇒ x = ±1/√2. - Значения в критических точках: - y(0) = 0. - y(±1/√2) = (1/2) - (1/4) = 1/4. - Вторая производная: y'' = 2 - 12x^2. - В точке x = 0: y'' = 2 > 0 ⇒ локальный минимум в (0, 0). - В точках x = ±1/√2: y'' = 2 - 12·(1/2) = -4 < 0 ⇒ локальные максимумы в (±1/√2, 1/4). 4) Точка перегиба - Порассужаем над второй производной: y'' = 0 дает точки перегиба. - 2 - 12x^2 = 0 ⇒ x^2 = 1/6 ⇒ x = ±1/√6. - Значение y в этих точках: y = x^2 - x^4 = (1/6) - (1/36) = 5/36 ≈ 0.1389. - Итак, инфлекционные точки: (±1/√6, 5/36). 5) Поведение графика и ключевые точки - График чётно-симметричен, имеет: - локальный минимум в (0, 0), - два локальных максимума в (±1/√2, 1/4), - пересечения с осью Ox в x = -1, 0, 1, - инфлекс-пoints в (±1/√6, 5/36). - За пределами |x| large график убывает бесконечно вниз: y → −∞ при |x| → ∞. - Значения между осьами: - На отрезке (-1, 1) график не опускается ниже 0 (y ≥ 0), достигает максимумов в ±1/√2 и касается оси в точках 0 и ±1. - За пределами |x| > 1 график отрицателен и убывает. 6) Как построить график на листе (практическая инструкция) - Отметьте оси и возьмите масштаб так, чтобы заметить ключевые точки: - точки пересечения осей: (-1, 0), (0, 0), (1, 0). - локальные максимумы: (±1/√2 ≈ ±0.707, 0.25). - инфлекс-пункты: (±1/√6 ≈ ±0.408, ≈ 0.1389). - минимум в (0, 0) (график касается osі в этой точке и идет вверх и затем вниз). - Соедините точки плавной кривой: - между -1 и 1 поднимайтесь от 0 к максимумам около ±0.707, затем возвращайтесь к 0 в x = ±1. - за пределами ±1 опускайтесь вниз и идите к −∞ при |x| увеличении. - Учитывайте симметрию: правая и левая части графика зеркальны. Кратко итог: - y = x^2(1 − x^2) = x^2 − x^4. - Нули: x = -1, 0, 1. - Локальные экстремумы: минимума в (0, 0); максимумы в (±1/√2, 1/4). - Инфлексии в (±1/√6, 5/36). - График симметричен относительно оси y и опускается вниз при |x| → ∞.