Решите уравнения: a) 21y ^ 3 - 7y = 0 6) 24x ^ 3 - 6x ^ 2 - 4x + 1 = 0 B) |x-3| |9x - 6| + (3x - 1) ^ 2 = 20

Вот подробные решения задач. Цель — понять процесс, поэтому распишу шаг за шагом. 1) a) 21 y^3 − 7 y = 0 - Вынесем общий множитель: 21y^3 − 7y = 7y(3y^2 − 1) = 0. - Решения из каждого множителя: - 7y = 0 → y = 0. - 3y^2 − 1 = 0 → y^2 = 1/3 → y = ±√(1/3) = ±1/√3 = ±√3/3. - Все корни: y ∈ {0, √3/3, −√3/3}. 2) 6) 24 x^3 − 6 x^2 − 4 x + 1 = 0 - Сгруппируем сомножители: (24x^3 − 6x^2) + (−4x + 1) = 6x^2(4x − 1) − 1(4x − 1) = (4x − 1)(6x^2 − 1). - Следовательно, произведение равно нулю, следовательно: - 4x − 1 = 0 → x = 1/4. - 6x^2 − 1 = 0 → x^2 = 1/6 → x = ±1/√6. - Все корни: x ∈ {1/4, 1/√6, −1/√6}. 3) B) |x − 3| |9x − 6| + (3x − 1)^2 = 20 - Заметим связь через переменную t = 3x − 1. Тогда: 3x − 1 = t, значит x = (t + 1)/3. - Выразим остальные члены через t: - x − 3 = (t + 1)/3 − 3 = (t − 8)/3 → |x − 3| = |t − 8|/3. - 9x − 6 = 3(3x − 2) = 3((3x − 1) − 1) = 3(t − 1) → |9x − 6| = 3|t − 1|. - (3x − 1)^2 = t^2. - Подстановка даёт упрощённое уравнение: (|t − 8| / 3) · (3|t − 1|) + t^2 = 20 → |t − 8| |t − 1| + t^2 = 20. - Разобьём по случаям (из-за модулей). Case 1. t ≤ 1 - |t − 8| = 8 − t, |t − 1| = 1 − t. - Произведение: (8 − t)(1 − t) = 8 − 9t + t^2. - Уравнение: (8 − 9t + t^2) + t^2 = 20 → 2t^2 − 9t + 8 − 20 = 0 → 2t^2 − 9t − 12 = 0. - Решение: t = [9 ± √177]/4. - Проверяем условие t ≤ 1: - t1 = (9 + √177)/4 ≈ 5.58 → не подходит. - t2 = (9 − √177)/4 ≈ −1.08 → подходит. - В этом случае t = (9 − √177)/4. Case 2. 1 ≤ t ≤ 8 - |t − 8| = 8 − t, |t − 1| = t − 1. - Произведение: (8 − t)(t − 1) = −t^2 + 9t − 8. - Уравнение: (−t^2 + 9t − 8) + t^2 = 20 → 9t − 8 = 20 → 9t = 28 → t = 28/9. - Это значение удовлетворяет условию 1 ≤ t ≤ 8, значит допустимо. Case 3. t ≥ 8 - |t − 8| = t − 8, |t − 1| = t − 1. - Произведение: (t − 8)(t − 1) = t^2 − 9t + 8. - Уравнение: (t^2 − 9t + 8) + t^2 = 20 → 2t^2 − 9t − 12 = 0. - Решения: t = [9 ± √177]/4 ≈ 5.58 или −1.08. Ни одно из них не удовлетворяет t ≥ 8, следовательно, нет корней в этом случае. - Итого имеем два допустимых значения t: t1 = (9 − √177)/4 и t2 = 28/9. - Переводим обратно в x через t = 3x − 1: 1) t = 28/9: 3x − 1 = 28/9 → 3x = 28/9 + 1 = 37/9 → x = 37/27. 2) t = (9 − √177)/4: 3x − 1 = (9 − √177)/4 → 3x = 1 + (9 − √177)/4 = (13 − √177)/4 → x = (13 − √177)/12. - Итого корни уравнения |x − 3| |9x − 6| + (3x − 1)^2 = 20: x ∈ { 37/27, (13 − √177)/12 }. Краткие константные проверки (по желанию): - Для x = 37/27: t = 3x − 1 = 28/9, подходит к Case 2. - Для x = (13 − √177)/12: t ≈ −1.08 ≤ 1, подходит к Case 1. Итог по всем задачам: - a) y = 0 или y = ±1/√3. - b) x = 1/4 или x = ±1/√6. - B) x = 37/27 или x = (13 − √177)/12.