Решите уравнения: a) 21y ^ 3 - 7y = 0 6) 24x ^ 3 - 6x ^ 2 - 4x + 1 = 0 B) |x-3| |9x - 6| + (3x - 1) ^ 2 = 20

Вот подробные решения задач. Цель — понять процесс, поэтому распишу шаг за шагом.

1. a) 21 y^3 − 7 y = 0

• Вынесем общий множитель: 21y^3 − 7y = 7y(3y^2 − 1) = 0.
• Решения из каждого множителя:
  • 7y = 0 → y = 0.
  • 3y^2 − 1 = 0 → y^2 = 1/3 → y = ±√(1/3) = ±1/√3 = ±√3/3.
• Все корни: y ∈ {0, √3/3, −√3/3}.

2. 6. 24 x^3 − 6 x^2 − 4 x + 1 = 0

• Сгруппируем сомножители: (24x^3 − 6x^2) + (−4x + 1) = 6x^2(4x − 1) − 1(4x − 1) = (4x − 1)(6x^2 − 1).
• Следовательно, произведение равно нулю, следовательно:
  • 4x − 1 = 0 → x = 1/4.
  • 6x^2 − 1 = 0 → x^2 = 1/6 → x = ±1/√6.
• Все корни: x ∈ {1/4, 1/√6, −1/√6}.

3. B) |x − 3| |9x − 6| + (3x − 1)^2 = 20

• Заметим связь через переменную t = 3x − 1. Тогда: 3x − 1 = t, значит x = (t + 1)/3.

• Выразим остальные члены через t:

  • x − 3 = (t + 1)/3 − 3 = (t − 8)/3 → |x − 3| = |t − 8|/3.
  • 9x − 6 = 3(3x − 2) = 3((3x − 1) − 1) = 3(t − 1) → |9x − 6| = 3|t − 1|.
  • (3x − 1)^2 = t^2.

• Подстановка даёт упрощённое уравнение: (|t − 8| / 3) · (3|t − 1|) + t^2 = 20 → |t − 8| |t − 1| + t^2 = 20.

• Разобьём по случаям (из-за модулей).

Case 1. t ≤ 1

• |t − 8| = 8 − t, |t − 1| = 1 − t.
• Произведение: (8 − t)(1 − t) = 8 − 9t + t^2.
• Уравнение: (8 − 9t + t^2) + t^2 = 20 → 2t^2 − 9t + 8 − 20 = 0 → 2t^2 − 9t − 12 = 0.
• Решение: t = [9 ± √177]/4.
• Проверяем условие t ≤ 1:
  • t1 = (9 + √177)/4 ≈ 5.58 → не подходит.
  • t2 = (9 − √177)/4 ≈ −1.08 → подходит.
• В этом случае t = (9 − √177)/4.

Case 2. 1 ≤ t ≤ 8

• |t − 8| = 8 − t, |t − 1| = t − 1.
• Произведение: (8 − t)(t − 1) = −t^2 + 9t − 8.
• Уравнение: (−t^2 + 9t − 8) + t^2 = 20 → 9t − 8 = 20 → 9t = 28 → t = 28/9.
• Это значение удовлетворяет условию 1 ≤ t ≤ 8, значит допустимо.

Case 3. t ≥ 8

• |t − 8| = t − 8, |t − 1| = t − 1.

• Произведение: (t − 8)(t − 1) = t^2 − 9t + 8.

• Уравнение: (t^2 − 9t + 8) + t^2 = 20 → 2t^2 − 9t − 12 = 0.

• Решения: t = [9 ± √177]/4 ≈ 5.58 или −1.08. Ни одно из них не удовлетворяет t ≥ 8, следовательно, нет корней в этом случае.

• Итого имеем два допустимых значения t: t1 = (9 − √177)/4 и t2 = 28/9.

• Переводим обратно в x через t = 3x − 1:

  1. t = 28/9: 3x − 1 = 28/9 → 3x = 28/9 + 1 = 37/9 → x = 37/27.
  2. t = (9 − √177)/4: 3x − 1 = (9 − √177)/4 → 3x = 1 + (9 − √177)/4 = (13 − √177)/4 → x = (13 − √177)/12.

• Итого корни уравнения |x − 3| |9x − 6| + (3x − 1)^2 = 20: x ∈ { 37/27, (13 − √177)/12 }.

Краткие константные проверки (по желанию):

• Для x = 37/27: t = 3x − 1 = 28/9, подходит к Case 2.
• Для x = (13 − √177)/12: t ≈ −1.08 ≤ 1, подходит к Case 1.

Итог по всем задачам:

• a) y = 0 или y = ±1/√3.
• b) x = 1/4 или x = ±1/√6.
• B) x = 37/27 или x = (13 − √177)/12.