В прямоугольнике RXMA точка Р является точкой пересечения диагоналей. угол XRM=23°. Найдите угол XPM и угол МРА.

Задача: В прямоугольнике RXMA точки диагоналей RM и XA пересекаются в P. Известно, что угол XRM = 23°. Найдите углы XPM и MRA.

Обозначим угол a = XRM = 23°.

1. Связь сторон и диагонали

• RX и RA — соседние стороны прямоугольника и они перпендикулярны.
• Диагональ RM образует с RX угол a, значит отношение высоты h к ширине w прямоугольника даёт tan a = h/w.

2. Угол между диагоналями RM и XA

• У наклонов диагоналей: m(RM) = h/w = tan a, m(XA) = -h/w = -tan a.
• Угол между двумя прямыми с углами наклона arctan(tan a) и arctan(-tan a) равен φ, где tan φ = |(m2 − m1) / (1 + m1 m2)|.
• Подставим: tan φ = |(-tan a − tan a) / (1 − tan^2 a)| = 2 tan a / (1 − tan^2 a) = tan(2a).
• Значит φ = 2a = 46°.
• Угол XPM — это именно угол между диагоналями RM и XA в точке P, то есть XPM = 46°.

3. Угол MRA

• RX ⟂ RA, поэтому угол XRM плюс угол MRA равны 90°.
• Так как XRM = a, получаем MRA = 90° − a = 90° − 23° = 67°.

Ответ:

• Угол XPM = 46°
• Угол MRA = 67°