№4. Треугольник АВС не лежит в одной плоскости с другим треугольником, а имеет с ним общую сторону АВ. Докажите, что одна из средних линий треугольника АВС параллельна плоскости другого треугольника.

Решение на русском. Обозначим плоскости: α — плоскость треугольника ABC, β — плоскость другого треугольника ABD. Они не лежат в одной плоскости, но имеют общую сторону AB, поэтому α ∩ β = AB. Пусть M — середина стороны BC, N — середина стороны AC треугольника ABC. Тогда MN — средняя линия треугольника ABC, и по теореме середних MN ∥ AB. Так как AB лежит в плоскости β, направление AB принадлежит плоскости β. Следовательно любая прямая, параллельная AB, будет параллельна плоскости β. Прямая MN параллельна AB, и поэтому MN параллельна β. Остаётся отметить, что MN не может лежать в β, потому что MN лежит в α и не пересекает AB (оно лежит внутри треугольника ABC и не касается стороны AB). Следовательно MN не входит в β, а только параллелна ей. Итак, одна из средних линий треугольника ABC (конкретно MN, которая параллельна AB) параллельна плоскости другого треугольника.