"В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 24. Найдите площадь четырехугольника ABMN."

Классное задание! Давай разберём по шагам и увидим, где моя ошибка и как всё правильно посчитать.

Что известно

• M — середина BC, N — середина AC.
• Треугольник CNM — это маленький треугольник возле вершины C.
• Данo S(CNM) = 24.
• Нужна площадь четырехугольника ABMN.

Почему MN и треугольники NMC и ABC связаны

• M и N — середины двух сторон BC и AC, соответственно, поэтому MN — средняя линия треугольника ABC и MN ∥ AB.
• Треугольники NMC и ABC подобны: соответствуют друг другу как N ↔ A, M ↔ B, C ↔ C.
• Поэтому отношение сторон между NMC и ABC равно CN/CA = CM/CB = 1/2, а значит отношение площадей S(NMC) к S(ABC) равно (1/2)^2 = 1/4.
• Следовательно S(ABC) = 4 · S(NMC) = 4 · 24 = 96.

Как получить искомую площадь ABMN

• Четырёхугольник ABMN состоит из всей большой треугольной области ABC за вычетом маленького треугольника CNM: ABMN = ABC \ CNM.
• Поэтому S(ABMN) = S(ABC) − S(CNM) = 96 − 24 = 72.

Где моя ошибка в твоём ответе

• Ты нашёл S(ABC) как 96, что верно для всей фигуры ABC.
• Но задача про ABMN, а не про ABC. Нужно вычесть площадь CNM из площади ABC. Получается 72, а не 96.

Ответ: 72.

Если хочешь, могу показать ещё один способ посчитать ABMN как трапецию с основаниями AB и MN и высотой, равной расстоянию между ними. Но результат останется тем же.

Поставь, пожалуйста, лайк или дизлайк.