На рисунке 3 точки А, В и С лежат в плоскости α, точки М, Р и К в плоскости β. Отрезки АК=СМ и ВР имеют общую середину О, АК=17 см, МК=8 см. Найти СК. A) 25 см; B) 15 см; C) 20…
На рисунке 3 точки А, В и С лежат в плоскости α, точки М, Р и К в плоскости β. Отрезки АК=СМ и ВР имеют общую середину О, АК=17 см, МК=8 см. Найти СК. A) 25 см; B) 15 см; C) 20 см; D) 35 см.
Дано:
- AK и CM имеют общую середину O, AK = CM = 17 см.
- AO = OK = CO = OM = 17/2 = 8.5 см.
- MK = 8 см.
Цель: найти CK.
Найдём угол θ между сегментами OM и OK. В треугольнике MOK стороны: OM = OK = 8.5 см, MK = 8 см. По теореме косинусов: MK^2 = OM^2 + OK^2 − 2·OM·OK·cosθ 64 = 8.5^2 + 8.5^2 − 2·8.5^2·cosθ 64 = 144.5 − 144.5·cosθ cosθ = (144.5 − 64) / 144.5 = 80.5 / 144.5 = 161/289.
Угол между OC и OK. OC направлена от O к C, она противоположна OM, а OK противоположна OA, значит угол ∠COK равен π − θ и cos(∠COK) = cos(π − θ) = −cosθ = −161/289.
Найдём CK по теореме косинусов в треугольнике COK. OC = OK = 8.5 см, поэтому CK^2 = OC^2 + OK^2 − 2·OC·OK·cos(∠COK) = 72.25 + 72.25 − 2·72.25·(−161/289) = 144.5 + 144.5·(161/289) = 144.5·(1 + 161/289) = (289/2) · (450/289) = 450/2 = 225.
Следовательно CK = √225 = 15 см.
Ответ: B) 15 см.
