Дисперсия

Разбираем дисперсию: что это и как считать шаг за шагом. Что такое дисперсия - Дисперсия — мера того, насколько разбросаны данные вокруг среднего значения. - Есть два варианта: для всей совокупности (пользуемся μ и N) и для выборки (используем x̄ и n). - Дисперсия тесно связана со стандартным отклонением: SD = sqrt(variance). Основные формулы - Для совокупности (весь набор данных) - σ^2 (популяционная дисперсия) = (1/N) Σ (xi − μ)^2 - σ = sqrt(σ^2) - Для выборки (из набора данных, который мы хотим экстраполировать на население) - s^2 (выборочная дисперсия) = (1/(n−1)) Σ (xi − x̄)^2 - s = sqrt(s^2) - Экономия на вычислениях (альтернативная форма) - Σ (xi − x̄)^2 = Σ xi^2 − (Σ xi)^2 / n - Популяционная дисперсия через суммы: σ^2 = [Σ xi^2 − (Σ xi)^2 / n] / N - Выборочная дисперсия через суммы: s^2 = [Σ xi^2 − (Σ xi)^2 / n] / (n−1) - Для сгруппированных данных (с freq-распределением) - Используем средневзвешанные значения классами: x_i — середина класса, f_i — частота - Пусть N = Σ f_i, x̄ = (Σ f_i x_i) / N - Популяционная дисперсия: σ^2 ≈ [Σ f_i (x_i − x̄)^2] / N - Выборочная дисперсия: s^2 ≈ [Σ f_i (x_i − x̄)^2] / (N − 1) Пример 1: данные без группировки Данные: 3, 7, 7, 10, 12 - Шаг 1. Найдем n и среднее x̄ - n = 5 - Σxi = 3 + 7 + 7 + 10 + 12 = 39 - x̄ = 39 / 5 = 7.8 - Шаг 2. Σ (xi − x̄)^2 - (3 − 7.8)^2 = 23.04 - (7 − 7.8)^2 = 0.64 - (7 − 7.8)^2 = 0.64 - (10 − 7.8)^2 = 4.84 - (12 − 7.8)^2 = 17.64 - Σ (xi − x̄)^2 = 23.04 + 0.64 + 0.64 + 4.84 + 17.64 = 46.80 - Шаг 3. Дисперсии - Популяционная дисперсия: σ^2 = Σ (xi − x̄)^2 / N = 46.80 / 5 = 9.36 - Выборочная дисперсия: s^2 = Σ (xi − x̄)^2 / (n − 1) = 46.80 / 4 = 11.70 - Шаг 4. Стандартные отклонения - σ = sqrt(9.36) ≈ 3.06 - s = sqrt(11.70) ≈ 3.42 - Дополнительная проверка через суммы - Σ xi^2 = 3^2 + 7^2 + 7^2 + 10^2 + 12^2 = 9 + 49 + 49 + 100 + 144 = 351 - (Σ xi)^2 / n = 39^2 / 5 = 1521 / 5 = 304.2 - Σ xi^2 − (Σ xi)^2 / n = 351 − 304.2 = 46.8 (то же значение) - Таким образом, s^2 = 46.8 / 4 = 11.70, σ^2 = 46.8 / 5 = 9.36 Пример 2: сгруппированные данные Данные в виде классов с серединами и частотами: - Класс 0–4: середина x1 = 2, f1 = 2 - Класс 5–9: середина x2 = 7, f2 = 3 - Класс 10–14: середина x3 = 12, f3 = 5 - Общее число наблюдений: N = 2 + 3 + 5 = 10 - Среднее x̄ = (2·2 + 3·7 + 5·12) / 10 = (4 + 21 + 60) / 10 = 85 / 10 = 8.5 Популяционная дисперсия для сгруппированных данных - σ^2 ≈ [2·(2 − 8.5)^2 + 3·(7 − 8.5)^2 + 5·(12 − 8.5)^2] / 10 - Вычисления: - (2 − 8.5)^2 = (−6.5)^2 = 42.25; 2·42.25 = 84.50 - (7 − 8.5)^2 = (−1.5)^2 = 2.25; 3·2.25 = 6.75 - (12 − 8.5)^2 = 3.5^2 = 12.25; 5·12.25 = 61.25 - Σ f_i (x_i − x̄)^2 = 84.50 + 6.75 + 61.25 = 152.50 - σ^2 ≈ 152.50 / 10 = 15.25 - σ ≈ sqrt(15.25) ≈ 3.91 Комментарий - Когда данные являются выборкой из большего населения, обычно используют выборочную дисперсию s^2 с заменой знаменателя n−1. - В простых случаях можно пользоваться формулой через суммы: s^2 = [Σ xi^2 − (Σ xi)^2 / n] / (n−1). - Для группированных данных дисперсию обычно оценивают по формуле через середины классов и частоты. Если хочешь, могу применить эти шаги к твоей конкретной задаче: пришли набор чисел или таблицу с группами, и я посчитаю дисперсию по нужной формуле и объясню все промежуточные шаги.