дисперсия

Разбираем дисперсию: что это и как считать шаг за шагом.

Что такое дисперсия

• Дисперсия — мера того, насколько разбросаны данные вокруг среднего значения.
• Есть два варианта: для всей совокупности (пользуемся μ и N) и для выборки (используем x̄ и n).
• Дисперсия тесно связана со стандартным отклонением: SD = sqrt(variance).

Основные формулы

• Для совокупности (весь набор данных)
  • σ^2 (популяционная дисперсия) = (1/N) Σ (xi − μ)^2
  • σ = sqrt(σ^2)
• Для выборки (из набора данных, который мы хотим экстраполировать на население)
  • s^2 (выборочная дисперсия) = (1/(n−1)) Σ (xi − x̄)^2
  • s = sqrt(s^2)
• Экономия на вычислениях (альтернативная форма)
  • Σ (xi − x̄)^2 = Σ xi^2 − (Σ xi)^2 / n
  • Популяционная дисперсия через суммы: σ^2 = [Σ xi^2 − (Σ xi)^2 / n] / N
  • Выборочная дисперсия через суммы: s^2 = [Σ xi^2 − (Σ xi)^2 / n] / (n−1)
• Для сгруппированных данных (с freq-распределением)
  • Используем средневзвешанные значения классами: x_i — середина класса, f_i — частота
  • Пусть N = Σ f_i, x̄ = (Σ f_i x_i) / N
  • Популяционная дисперсия: σ^2 ≈ [Σ f_i (x_i − x̄)^2] / N
  • Выборочная дисперсия: s^2 ≈ [Σ f_i (x_i − x̄)^2] / (N − 1)

Пример 1: данные без группировки Данные: 3, 7, 7, 10, 12

• Шаг 1. Найдем n и среднее x̄
  • n = 5
  • Σxi = 3 + 7 + 7 + 10 + 12 = 39
  • x̄ = 39 / 5 = 7.8
• Шаг 2. Σ (xi − x̄)^2
  • (3 − 7.8)^2 = 23.04
  • (7 − 7.8)^2 = 0.64
  • (7 − 7.8)^2 = 0.64
  • (10 − 7.8)^2 = 4.84
  • (12 − 7.8)^2 = 17.64
  • Σ (xi − x̄)^2 = 23.04 + 0.64 + 0.64 + 4.84 + 17.64 = 46.80
• Шаг 3. Дисперсии
  • Популяционная дисперсия: σ^2 = Σ (xi − x̄)^2 / N = 46.80 / 5 = 9.36
  • Выборочная дисперсия: s^2 = Σ (xi − x̄)^2 / (n − 1) = 46.80 / 4 = 11.70
• Шаг 4. Стандартные отклонения
  • σ = sqrt(9.36) ≈ 3.06
  • s = sqrt(11.70) ≈ 3.42
• Дополнительная проверка через суммы
  • Σ xi^2 = 3^2 + 7^2 + 7^2 + 10^2 + 12^2 = 9 + 49 + 49 + 100 + 144 = 351
  • (Σ xi)^2 / n = 39^2 / 5 = 1521 / 5 = 304.2
  • Σ xi^2 − (Σ xi)^2 / n = 351 − 304.2 = 46.8 (то же значение)
  • Таким образом, s^2 = 46.8 / 4 = 11.70, σ^2 = 46.8 / 5 = 9.36

Пример 2: сгруппированные данные Данные в виде классов с серединами и частотами:

• Класс 0–4: середина x1 = 2, f1 = 2
• Класс 5–9: середина x2 = 7, f2 = 3
• Класс 10–14: середина x3 = 12, f3 = 5
• Общее число наблюдений: N = 2 + 3 + 5 = 10
• Среднее x̄ = (2·2 + 3·7 + 5·12) / 10 = (4 + 21 + 60) / 10 = 85 / 10 = 8.5

Популяционная дисперсия для сгруппированных данных

• σ^2 ≈ [2·(2 − 8.5)^2 + 3·(7 − 8.5)^2 + 5·(12 − 8.5)^2] / 10
• Вычисления:
  • (2 − 8.5)^2 = (−6.5)^2 = 42.25; 2·42.25 = 84.50
  • (7 − 8.5)^2 = (−1.5)^2 = 2.25; 3·2.25 = 6.75
  • (12 − 8.5)^2 = 3.5^2 = 12.25; 5·12.25 = 61.25
• Σ f_i (x_i − x̄)^2 = 84.50 + 6.75 + 61.25 = 152.50
• σ^2 ≈ 152.50 / 10 = 15.25
• σ ≈ sqrt(15.25) ≈ 3.91

Комментарий

• Когда данные являются выборкой из большего населения, обычно используют выборочную дисперсию s^2 с заменой знаменателя n−1.
• В простых случаях можно пользоваться формулой через суммы: s^2 = [Σ xi^2 − (Σ xi)^2 / n] / (n−1).
• Для группированных данных дисперсию обычно оценивают по формуле через середины классов и частоты.

Если хочешь, могу применить эти шаги к твоей конкретной задаче: пришли набор чисел или таблицу с группами, и я посчитаю дисперсию по нужной формуле и объясню все промежуточные шаги.