Треугольнике АВС с прямым углом С высота СН, проведенная к гипотенузе равна 5/3 см, а отрезок АН равен 15 см. Найдите острые углы прямоугольного треугольника. Решение

Задача: треугольник ABC прямоугольный в C, высота CN к гипотенузе AB. CN = 5/3 см, AN = 15 см. Найти острые углы. Пошаговое решение: 1) В прямоугольном треугольнике высота от вершины C к гипотенузе AB делит гипотенузу на отрезки AN и NB, и выполняется равенство h^2 = AN · NB, где h = CN. 2) Найдем NB: h^2 = (5/3)^2 = 25/9. NB = h^2 / AN = (25/9) / 15 = 25/135 = 5/27. 3) Найдем отношение тангенсов острых углов A и B. Из свойств подобий треугольников AC^2 = AB · AN и BC^2 = AB · NB. Тогда tan A = BC/AC = sqrt((AB · NB) / (AB · AN)) = sqrt(NB / AN). NB/AN = (5/27) / 15 = 5/(27·15) = 5/405 = 1/81. Значит tan A = sqrt(1/81) = 1/9. 4) Следовательно, угол A = arctan(1/9) ≈ 6.34°. Острый угол B = 90° − A ≈ 83.66°. Также можно проверить: tan B = AC/BC = sqrt(AN/NB) = sqrt(15 / (5/27)) = sqrt(81) = 9, что даёт B ≈ arctan(9) ≈ 83.66°. Ответ: - Острый угол A ≈ 6.34° - Острый угол B ≈ 83.66° (или в виде точных значений: tan A = 1/9, tan B = 9).