Сколько существует десятизначных чисел, у которых поровну чётных и нечётных цифр?

Задача: найти, сколько существует десятизначных чисел, в которых поровну чётных и нечётных цифр (то есть по 5 чётных и 5 нечётных цифр), причём первая цифра не равна нулю.

Шаги решения:

1. Обозначения

• Чётные цифры: 0, 2, 4, 6, 8 (5 вариантов).
• Нечётные цифры: 1, 3, 5, 7, 9 (5 вариантов).
• Десятизначное число не может начинаться с 0.

2. Разделим решение на два случая по тому, какая цифра стоит на первом месте.

• Случай A: первая цифра чётная.

  • Вариантов для первой цифры: 4 (2, 4, 6, 8).
  • Всего среди оставшихся 9 позиций нужно разместить 4 чётные и 5 нечётных.
  • Выбираем, какие из 9 позиций будут чётными: C(9,4) способов.
  • Для 4 чётных позиций: по 5 вариантов каждая (можно использовать 0), для 5 нечётных позиций: по 5 вариантов каждая.
  • Всего число вариантов в этом случае: 4 · C(9,4) · 5^9.

• Случай B: первая цифра нечётная.

  • Вариантов для первой цифры: 5 (1, 3, 5, 7, 9).
  • Среди оставшихся 9 позиций нужно разместить 5 чётных и 4 нечётных.
  • Чётные позиции среди 9: C(9,5) способов (равно C(9,4)).
  • Для 5 чётных позиций: по 5 вариантов каждая, для 4 нечётных позиций: по 5 вариантов каждая.
  • Всего число вариантов в этом случае: 5 · C(9,5) · 5^9.

3. Суммарное количество

• Так как C(9,4) = C(9,5) = 126, получаем: total = 4 · 126 · 5^9 + 5 · 126 · 5^9 = (4 + 5) · 126 · 5^9 = 9 · 126 · 5^9 = 1134 · 5^9.

4. Вычисление числа

• 5^9 = 1 953 125.
• 1134 · 5^9 = 1134 · 1 953 125 = 2 214 843 750.

Ответ: 2 214 843 750.

Кратко: число десятизначных чисел с равным числом чётных и нечётных цифр и без ведущего нуля равно 1134 · 5^9 = 2 214 843 750.