Точка О является серединой СД стороны квадрата АБСД. Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен 5. Найдите площадь квадрата АБСД

Решение.

Задача: точка O — середина стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром O, проходящей через вершину A, равен 5. Найти площадь квадрата ABCD.

1. Введём координаты. Пусть A = (0, 0), B = (s, 0), C = (s, s), D = (0, s), где s — сторона квадрата.

2. Точка O — середина CD. Координаты C = (s, s), D = (0, s), значит O = ((s+0)/2, s) = (s/2, s).

3. Расстояние OA равно радиусу окружности: OA = √[(s/2 − 0)^2 + (s − 0)^2] = √[(s/2)^2 + s^2] = √(s^2/4 + s^2) = √(5s^2/4) = (√5/2)·s.

4. По условию OA = 5, значит (√5/2)·s = 5. Отсюда s = 5 · 2 / √5 = 10/√5 = 2√5.

5. Площадь квадрата S = s^2 = (2√5)^2 = 4·5 = 20.

Ответ: площадь квадрата ABCD равна 20 кв. единиц.