2cos²x+cos2x+3cosx=0

Задача: 2 cos^2 x + cos 2x + 3 cos x = 0

Пошаговое решение и объяснения

1. Используем тригонометрическую тождество для cos 2x cos 2x = 2 cos^2 x − 1

2. Подставляем в уравнение 2 cos^2 x + (2 cos^2 x − 1) + 3 cos x = 0 4 cos^2 x + 3 cos x − 1 = 0

3. Вводим замену t = cos x Получаем квадратное уравнение: 4 t^2 + 3 t − 1 = 0

4. Решение квадратного уравнения D = 3^2 − 4·4·(−1) = 9 + 16 = 25 t = [−3 ± √25] / (2·4) = [−3 ± 5] / 8

• t1 = (−3 + 5) / 8 = 2/8 = 1/4
• t2 = (−3 − 5) / 8 = −8/8 = −1

Итак, cos x = 1/4 или cos x = −1

5. Решение для x

• Если cos x = −1, то x = π + 2πk, где k ∈ Z.

• Если cos x = 1/4, то x = ± arccos(1/4) + 2πk, где k ∈ Z. Приближённо arccos(1/4) ≈ 1.3181 рад ≈ 75.52°. Значит, дополнительные формы: x ≈ 1.3181 + 2πk или x ≈ −1.3181 + 2πk или эквивалентно x ≈ 1.3181 + 2πk и x ≈ 2π − 1.3181 + 2πk ≈ 4.9651 + 2πk

Итоговые решения

• x = (2k + 1)π, k ∈ Z
• x = ± arccos(1/4) + 2πk, k ∈ Z (приближённо: x ≈ 1.3181 + 2πk или x ≈ 4.9651 + 2πk)

Коротко: мы перенесли уравнение в квадратное по cos x, нашёлся корень cos x = −1 и cos x = 1/4, после чего записали общие решения по θ.