Сформулируте и докажите основное свойство степени

Задача: сформулировать и доказать основное свойство степени. 1) Формулировка (основное свойство степени) Для любого не нулевого числа a и любых целых показателей m и n выполняется следующее: - a^m · a^n = a^(m+n) Это и есть базовое свойство степеней. Из него выводятся остальные распространенные правила. Дополнительные важные части базовых свойств: - (a^m)^n = a^(m·n) для любых целых m, n. - a^m / a^n = a^(m−n) при a ≠ 0. - a^0 = 1 (при a ≠ 0). - a^(−k) = 1 / a^k (при a ≠ 0). - (ab)^n = a^n · b^n для целых n (при этом обычно предполагаются a, b реальны, и если n ≤ 0 и есть ноль, нужно учитывать определённости 0^0). 2) Доказательство основного свойства a^m · a^n = a^(m+n) Определение степеней для целых показателей: - Для неотрицательных k степень a^k является повторным умножением: a^k = a · a · ... · a (k раз), а a^0 = 1. - Для отрицательных показателей: a^(−k) = 1 / a^k, где k > 0. Доказательство проводится по случаям (для любых целых m, n и любого ненулевого a): - Случай 1: m ≥ 0 и n ≥ 0. По определению a^m и a^n — это произведения, состоящие из m и n факторов a соответственно. Их умножение даёт новое произведение, в котором фактически столько же факторов a, сколько их в m+n, т.е. a^m · a^n = a^(m+n). - Случай 2: m ≥ 0, n < 0. Пусть n = −t, t > 0. Тогда a^m · a^n = a^m · a^(−t) = a^m · (1 / a^t) = a^m / a^t = a^(m−t) = a^(m+n). - Случай 3: m < 0, n ≥ 0. Аналогично Случаю 2: a^m · a^n = a^(m+t) / a^t = a^(m+n). - Случай 4: m < 0 и n < 0. Пусть m = −p, n = −q, p > 0, q > 0. Тогда a^m · a^n = a^(−p) · a^(−q) = (1 / a^p) · (1 / a^q) = 1 / a^(p+q) = a^(−(p+q)) = a^(m+n). Во всех случаях получается a^m · a^n = a^(m+n). Значит свойство верно для любых целых m, n и любого не равного нулю a. 3) Следствия и дополнения - Свойство (a^m)^n = a^(m·n) доказывается аналогично: если n ≥ 0, то (a^m)^n — повторное умножение n раз, что даёт a^(mn); если n < 0, то (a^m)^n = 1 / (a^m)^|n| = 1 / a^(m|n|) = a^(m n). - Свойство a^m / a^n = a^(m−n) следует из a^m · a^(−n) = a^(m + (−n)) = a^(m−n). - Стандартное правило a^0 = 1 следует из того, что a^m · a^0 = a^(m+0) = a^m, значит a^0 должно быть равно 1 (при a ≠ 0). - Правило отрицательных степеней a^(−k) = 1 / a^k следует из того же равенства, если перенести a^−k в знаменатель. - Справедливость (ab)^n = a^n b^n следует рассмотреть по частям: если n ≥ 0, то (ab)^n = ab · ab · … · ab = (a^n)(b^n); если n < 0, то используем reciprocals: (ab)^n = 1 / (ab)^{|n|} = 1 / (a^{|n|} b^{|n|}) = a^n b^n. 4) Примеры - Пример 1: 3^2 · 3^5 = 3^(2+5) = 3^7 = 2187. - Пример 2: (2^3)^4 = 2^(3·4) = 2^12 = 4096. - Пример 3: 5^6 / 5^2 = 5^(6−2) = 5^4 = 625. - Пример 4: 4^(−3) = 1 / 4^3 = 1/64. - Пример 5: (6x)^3 = 6^3 x^3 = 216 x^3. 5) Важные замечания - База a должна быть не нулём, если мы используем отрицательные степени (a ≠ 0). Для положительных показателей всё корректно даже при a = 0. - Эти свойства относятся к целым показателям. При действительных (рациональных или произвольных) показателях требуются дополнительные определения и условия (например, для рациональных степеней базу обычно требуют a > 0). Итого: основное (базовое) свойство степени формулируется как a^m · a^n = a^(m+n) (при a ≠ 0 для целых m, n) и служит основой для остальных правил работы со степенями.