Помоги решить cos2x+cosx-2=0

Решение задачи: cos(2x) + cos(x) - 2 = 0

Цель: Понять решение по пошагово.

Дано: cos(2x) + cos x - 2 = 0.

1. Применим общеизвестную формулу для косинуса двойного угла: cos(2x) = 2 cos^2 x - 1. Подставим в уравнение: (2 cos^2 x - 1) + cos x - 2 = 0

2. Приведём подобные члены: 2 cos^2 x + cos x - 3 = 0

3. Обозначим t = cos x. Получаем квадратное уравнение: 2 t^2 + t - 3 = 0

4. Найдём корни квадратного уравнения: Дискриминант D = 1 + 24 = 25, корни t = (-1 ± 5) / 4.

   • t1 = ( -1 + 5 ) / 4 = 4/4 = 1
   • t2 = ( -1 - 5 ) / 4 = -6/4 = -3/2

5. Учтём ограничение для косинуса: cos x ∈ [-1, 1]. Значение t2 = -3/2 вне допустимого диапазона, поэтому отвергаем его. Остаётся: cos x = 1

6. Решим cos x = 1: x = 2πk, где k ∈ Z (целые числа). Если нужно в градусах: x = 360°·k, k ∈ Z.

7. Проверка (коррекция): Пусть x = 2πk. Тогда cos x = 1, cos(2x) = cos(4πk) = 1. Лево-слово: 1 + 1 - 2 = 0, верно.

Итог решения:

• Общий вид: x = 2πk, k ∈ Z (или x = 360°·k, k ∈ Z в градусах).

Дополнительные заметки:

• Метод: заменить cos x на t и решить квадратное уравнение; затем проверить допустимость корней по диапазону cos x ∈ [-1, 1].
• Уравнение периодично с периодом 2π, поэтому все решения записаны через целые k.