9x+1/х область значений

Задача: найти область значений функции f(x) = 9x + 1/x, x ≠ 0.

Пошагово:

• Обозначим значение функции как y: y = 9x + 1/x, при этом x ≠ 0.
• Перепишем уравнение в виде: yx = 9x^2 + 1 → 9x^2 − yx + 1 = 0.
• Чтобы уравнение 9x^2 − yx + 1 = 0 имело вещественные корни x, необходим дискриминант D ≥ 0: D = (−y)^2 − 4·9·1 = y^2 − 36 ≥ 0.
• Значит, для существования такого x выполняются y ≤ −6 или y ≥ 6.
• Для таких y существует решение x = [y ± sqrt(y^2 − 36)] / 18, что гарантирует x ≠ 0. Также можно проверить конкретно: при x = −1/3 получаем y = −6, а при x = 1/3 получаем y = 6.

Итак, область значений (range) функции: (-∞, −6] ∪ [6, ∞).