y=-|x|

Задача: y = -|x|. Цель: понять и разобрать по частям.

Пошаговое решение и объяснения

1. Разложение на кусочно-функцию

• По определению модуля: |x| = x при x ≥ 0 и |x| = -x при x < 0.
• Значит, для y = -|x| имеем два случая:
  • Если x ≥ 0, y = -(x) = -x.
  • Если x < 0, y = -(-x) = x.
• Итого, запись как кусочная функция:
  • y = -x, при x ≥ 0
  • y = x, при x < 0

2. Свойства графика

• Доменная область: все действительные числа. (R)
• Область значений (множество y): y ≤ 0. ((-∞, 0])
• Точки пересечения с осями:
  • y-пересечение: при x = 0, y = 0 → точка (0, 0)
  • x-пересечение: тоже (0, 0), так как y = 0 только при x = 0
• Симметрия: функция чётная, потому что y(-x) = y(x) → симметрично относительно оси Y.
• Максимум: достигается в вершине V-образной графики, в точке (0, 0). Значение y не превышает 0.
• Особенность: график имеет острый угол в вершине и разворачивается вниз, то есть открытие вниз (инвертированная буква V).

3. Как выглядит график (пошагово построение)

• При x ≥ 0: линия y = -x — прямая с наклоном -1, проходящая через (0,0) и идущая в четверть IV.
• При x < 0: линия y = x — прямая с наклоном +1, проходящая через (0,0) и идущая в четверть II.
• Эти две половинки сходятся в точке (0,0), образуя V-образную фигуру, ориентированную вниз.
• Примечание: чем дальше от нуля по оси x, тем ниже значение y (y становится более отрицательным).

4. Примеры значений

• x = 0 → y = -|0| = 0
• x = 2 → y = -|2| = -2
• x = -3 → y = -|-3| = -3
• x = 0.5 → y = -0.5
• x = -0.5 → y = -0.5 Можно видеть, что для любого x выполняется y ≤ 0.

5. Что это означает в терминах преобразований

• Можно рассматривать как базовую функцию y = |x| (V-форма вверх) и затем применить отражение по оси Y (умножить на -1). Это превращает V вверх в V вниз, сохраняя симметрию и вершину в начале координат.

6. Краткий вывод

• Функция y = -|x| задаёт инвертированную V-образную графику с вершиной в начале координат.
• Доменйная область — все действительные числа; область значений — все числа не больше нуля.
• Функция симметрична относительно оси Y, имеет два линейных ветвления: y = x для x < 0 и y = -x для x ≥ 0.

Если хочешь, могу привести небольшие задания на нахождение значений y при заданных x, построение графика «на бумаге» по этим правилам или решить аналогичные функции вида y = a|x| с разными коэффициентами для сравнения.