у русалочки было более 30 ракушек, но не менее 50 ракушек. когда она разложила их в кучки по 5 штук, осталось одна ракушка, а когда русалочка разложила их в кучки по 3 штуки,…

Задача по модулю: найти N such that

• N ≡ 1 (mod 5)
• N ≡ 2 (mod 3)
• N ≥ 50 (и N > 30, что уже выполняется)

Пошагово:

1. Пусть N = 5k + 1 (из условия N ≡ 1 mod 5).
2. Подставим во второе условие: 5k + 1 ≡ 2 (mod 3). Это эквивалентно 2k + 1 ≡ 2 (mod 3) → 2k ≡ 1 (mod 3).
3. Обратный элемент к 2 по модулю 3 равен 2, поэтому k ≡ 2 (mod 3). Значит k = 3t + 2.
4. Подставим обратно: N = 5k + 1 = 5(3t + 2) + 1 = 15t + 11. Следовательно, решения: N ≡ 11 (mod 15).

Теперь учтём условие N ≥ 50:

• Номера по виду 11, 26, 41, 56, 71, ....
• Первое число ≥ 50 — 56.

Проверка:

• 56 делится на 5 с остатком 1: 56 = 11×5 + 1.
• 56 делится на 3 с остатком 2: 56 = 18×3 + 2.

Ответ: у русалочки было 56 ракушек. Дополнительно: все решения при условии N ≥ 50 имеют вид N = 15t + 11 для t ≥ 3, то есть 56, 71, 86, ...