У русалочки 30 , но менее 50 ракушек. Когда она разложила их в кучки по 5 штук, То 1 ракушка , а когда она разложила их в кучки по 3 Штуки , то осталось 2 Ракушки. Сколько ракушек было у русалочки

Задача: найти количество ракушек N, таких что N > 30 и N < 50, и - при разложении по 5 штук остаётся 1 ракушка: N ≡ 1 (mod 5) - при разложении по 3 штуки остаётся 2 ракушки: N ≡ 2 (mod 3) Решение пошагово: 1) Обозначим общее число ракушек N. По условию 30 < N < 50. 2) Условия можно записать как систему конгруэнций: - N = 5k + 1 для некоторого целого k (N ≡ 1 (mod 5)) - N ≡ 2 (mod 3) 3) Подставим N = 5k + 1 во второе условие: 5k + 1 ≡ 2 (mod 3) → 5k ≡ 1 (mod 3) так как 5 ≡ 2 (mod 3), имеем 2k ≡ 1 (mod 3). Обратное к 2 по модулю 3 равно 2 (потому что 2·2 ≡ 1 (mod 3)). Значит k ≡ 2 (mod 3). Пусть k = 3t + 2. 4) Тогда N = 5k + 1 = 5(3t + 2) + 1 = 15t + 11. 5) Теперь подберём t так, чтобы N попал в диапазон 30 < N < 50: - t = 0 → N = 11 (мало) - t = 1 → N = 26 (мало) - t = 2 → N = 41 (в диапазоне) - t = 3 → N = 56 (за пределами) Единственное подходящее значение — N = 41. 6) Проверка: - 41 ÷ 5 даёт остаток 1 → верно. - 41 ÷ 3 даёт остаток 2 → верно. Ответ: у русалочки было 41 ракушка.