У Русалочки было более 30, но менее 50 ракушек. Когда она разложила их в кучки по 5 штук, то 1 ракушка осталась, а когда она разложила их в кучки по 3 штуки, то осталось 2…

Задача: Пусть x — количество ракушек. Дано:

• x ≡ 1 (mod 5) – при делении на 5 остаётся 1.
• x ≡ 2 (mod 3) – при делении на 3 остаётся 2.
• 30 < x < 50.

Пошаговое решение:

1. Из первого условия запишем x = 5k + 1, где k — целое число.

2. Подставим во второе условие: 5k + 1 ≡ 2 (mod 3). 5k ≡ 1 (mod 3). Так как 5 ≡ 2 (mod 3), получаем 2k ≡ 1 (mod 3). Обратимый элемент по модулю 3 у числа 2 — это 2 (потому что 2·2 ≡ 1 (mod 3)). Умножаем обе части на 2: k ≡ 2 (mod 3).

3. Значит k = 3t + 2. Подставим обратно в x: x = 5(3t + 2) + 1 = 15t + 11. Следовательно, все решения удовлетворяют x ≡ 11 (mod 15).

4. Найдём подходящее x в диапазоне 30 < x < 50: x = 15t + 11. Пробуем значения t:

   • t = 1 → x = 26 (мало: ≤ 30)
   • t = 2 → x = 41
   • t = 3 → x = 56 (больше 50) Значит единственное подходящее в диапазоне — x = 41.

5. Проверка: 41 ÷ 5 даёт остаток 1, 41 ÷ 3 даёт остаток 2. Всё верно.

Ответ: 41 ракушка.