У русалочки было более 30 но менее 50 ракушек. Когда она разложила их в кучки по 5 штук, то 1 ракушка осталась, а когда она разложила их в кучки по 3 шт, то осталось 2 ракушки.…

Задача: количество ракушек N > 30 и N < 50 такое, что N ≡ 1 (mod 5) и N ≡ 2 (mod 3).

Решение по шагам:

1. Пусть N = 5k + 1 (остаток 1 при делении на 5).

2. При этом N ≡ 2 (mod 3) значит: 5k + 1 ≡ 2 (mod 3) → 5k ≡ 1 (mod 3). Так как 5 ≡ 2 (mod 3): 2k ≡ 1 (mod 3). Умножим на обратное 2 в mod 3 (2·2 ≡ 1): k ≡ 2 (mod 3).

3. Тогда k = 3t + 2, и N = 5(3t + 2) + 1 = 15t + 11.

4. Нужно выбрать t так, чтобы 31 ≤ N ≤ 49:

   • t = 0 → N = 11 (мимо),
   • t = 1 → N = 26 (мимо),
   • t = 2 → N = 41 (подходит),
   • t = 3 → N = 56 (мимо).

5. Проверка: 41 ÷ 5 даёт остаток 1, 41 ÷ 3 даёт остаток 2. Всё верно.

Ответ: ракушек было 41.