Прямые  M N MN и  K L KL пересекаются в точке  O O так, что  M O = O N MO=ON. Где должны располагаться точки  K K и  L L, чтобы треугольники  M K O MKO и  N L O NLO были равны?

Короткий ответ: точки K и L должны находиться на одной прямой KL, проходящей через O, так чтобы O был серединой отрезка KL. То есть KO = OL (K и L—симметрично относительно O). Пошаговое обоснование 1) Установим обозначения и данную условие - Пусть MO = ON = a > 0, так как O — середина MN. - Пусть K и L лежат на прямой KL, пересекающей MN в O. Пусть OK = p > 0 и OL = q > 0. Так как K и L лежат по обе стороны от O на одной прямой, можно записать q = OL и p = OK. 2) Рассмотрим треугольники MKO и NLO - Треугольник MKO имеет стороны: MO = a и KO = p. - Треугольник NLO имеет стороны: NO = a и LO = q. - Углы при O: угол MOK и угол NOL. Так как OM и ON — противоположные лучи MN, а OK и OL — противоположные лучи по той же прямой KL, то угол MOK равен углу NOL (оба являются углами между одной и той же парой противолежащих лучей). 3) Когда треугольники MKO и NLO равны - По признаку SAS двух треугольников (стороны вокруг угла и угол между ними) равны, если: - MO = NO (дано: a = a), - угол MOK = угол NOL (показано выше, они равны независимо от положения KL), - KO = LO (нужно дополнительно условие для полного равенства треугольников). - Следовательно, для равенства треугольников достаточно, чтобы KO = LO. 4) Вывод - Необходимое и достаточное условие: KO = LO, т.е. O — середина KL. - Это значит, что K и L должны быть расположены так, чтобы они были симметричны относительно точки O на линии KL: K и L по разные стороны от O и расстояния OK и OL равны. Практическая формулировка - Любую прямую KL, проходящую через O, возьмите точку K на KL на расстоянии d от O в одну сторону, и точку L на KL на расстоянии d от O в противоположную сторону. Тогда треугольники MKO и NLO будут равны. Замечание - Условие MO = ON и требование KO = LO автоматически дают равенство углов при O, поэтому достаточно именно симметричности KL относительно O.