Дан параллелограмм ABCD Точка К - середина стороны ВС, М — середина стороны CD, АК = 6, AM = 3, LKAM90 Найдите длину стороны AD

Задача (предположение по формулировке): в параллелограмме ABCD точка K — середина BC, точка M — середина CD, AK = 6, AM = 3, угол KAM = 90°. Найти AD.

1. Введение координат

• Пусть A = (0, 0).
• Пусть AB = b вдоль оси x, значит B = (b, 0).
• Пусть AD = (u, v) → D = (u, v), C = B + D = (b + u, v).

2. Координаты точек K и M

• K — середина BC: K = (B + C)/2 = (b + u/2, v/2).
• M — середина CD: M = (C + D)/2 = (b/2 + u, v).

3. Условия задачи в виде уравнений

• AK = 6: |AK|^2 = (b + u/2)^2 + (v/2)^2 = 36.
• AM = 3: |AM|^2 = (b/2 + u)^2 + v^2 = 9.
• ∠KAM = 90°: векторы AK и AM перпендикулярны, значит AK · AM = 0. AK · AM = (b + u/2)(b/2 + u) + (v/2)·v = 0.

Обозначим S = AD^2 = u^2 + v^2.

Из уравнений выше получаем систему (в явном виде):

• (1) (b + u/2)^2 + v^2/4 = 36 → b^2 + b u + S/4 = 36.
• (2) (b/2 + u)^2 + v^2 = b^2/4 + b u + S = 9.
• (3) (первая часть скалярного произведения) b^2 + (5/2) b u + S = 0.

4. Решение системы Из(3): b^2 = - (5/2) b u - S.

Подставим в (1):

• [-(5/2) b u - S] + b u + S/4 = 36
• (-3/2) b u - (3/4) S = 36
• 2 b u + S = -48. (A)

Подставим в (2) выражение для b^2:

• (b^2)/4 + b u + S = 9
• [- (5/2) b u - S]/4 + b u + S = 9
• (-5/8) b u - S/4 + b u + S = 9
• (3/8) b u + (3/4) S = 9
• 3 b u + 6 S = 72
• b u + 2 S = 24. (B)

Из (A) и (B):

• из (B): b u = 24 - 2S.
• подставляя в (A): S = -48 - 2(24 - 2S) = -48 - 48 + 4S ⇒ -3S = -96 ⇒ S = 32.

Таким образом AD^2 = S = 32, значит: AD = sqrt(32) = 4√2.

Ответ: AD = 4√2.