Какое наибольшее количество точек пересечения двух одинаковых квадратов, если ни одна вершина не лежит на стороне другого квадрата

Задача: какое наибольшее количество точек пересечения границ двух одинаковых квадратов, если ни одна вершина не лежит на стороне другого квадрата?

Важно уточнение: речь идёт именно о точках пересечения их границ (периметров), а не о площади пересечения. В условии сказано, что ни одна вершина не лежит на стороне другого квадрата, чтобы убрать редкие/устраиваемые случаи.

Ответ: 8 точек.

Обоснование по шагам

1. Верхняя граница (почему не больше 8)

• Пусть у нас два квадрата A и B одинакового размера.
• Грань A состоит из 4 отрезков (ее стороны). Вся граница B состоит из 4 отрезков.
• Любой отрезок границы B может пересечь границу A не более чем в двух точках (поскольку пересечение линии с выпуклым многоугольником — не более двух точек, и само отрезок — тоже не более двух).
• Следовательно, число точек пересечения граней A и B не может превышать 4·2 = 8.

2. Достижимость 8 точек (как получить реальный максимум)

• Рассмотрим конфигурацию: два квадрата имеют общий центр, и один из них повернут относительно другого на угол θ, где 0 < θ < 45°.
• Тогда каждый из четырёх ребер одного квадрата пересекает границу другого квадрата в две точки (их можно выбрать так, чтобы они не совпадали с вершинами ни одного квадрата).
• При этом важно выполнить условие, что ни чья вершина не лежит на стороне другого квадрата. Для угла θ, не равного 0° и 45°, ни одна вершина повернутого квадрата не попадёт на грань неподвижного квадрата. В частности, вершины повернутого квадрата лежат на круге радиуса √2 вокруг общего центра, а точки на границе A возникают на тех участках, которые не совпадают с вершинами A; такие случаи возникают только при θ = 0°, 45° (и их кратных), поэтому при любом θ ∈ (0°, 45°) условие выполняется.
• Таким образом, в этой конфигурации каждая из 4 сторон одного квадрата пересекает границу другого квадрата в ровно 2 точки, всего 8 различных точек пересечения.

Вывод

• Максимальное число точек пересечения границ двух одинаковых квадратов при условии, что ни одна вершина не лежит на стороне другого квадрата, равно 8.
• Реально достижимо, например, двумя квадрата с одинаковым центром, один из которых повернут на угол θ, где 0 < θ < 45°.