Каким может быть наибольшее количество точек пересечения сторон двух равных квадратов, если никакая вершина одного квадрата не лежит на стороне другого?

Задача: найти максимальное число точек пересечения сторон двух равных квадратов, если никакая вершина одного квадрата не лежит на стороне другого.

Ключевые идеи:

• У каждого квадрата 4 стороны, итого 8 сегментов-отрезков.
• Любая сторона одного квадрата лежит на одной прямой. Любая прямая, проходящая через этот отрезок, пересекает контур другого квадрата (правильнее: границу квадрата) не более чем в двух точках, так как квадрат — выпуклый многоугольник.
• Следовательно, каждая сторона первого квадрата может пересекать границу второго квадрата не более чем в двух точках. Значит, общая верхняя граница числа точек пересечения равна 4 стороны × 2 точки каждая = 8.
• При этом можно привести конфигурацию, в которой достигается ровно 8 пересечений: поверните второй квадрат относительно первого на ненулевой угол (например, около 30°). Если углы подобраны так, чтобы ни одна вершина одного квадрата не лежала на стороне другого (выбираем угол отличный от 0°, 45°, 90° и т. п.), то каждая сторона первого квадрата пересекает границу второго квадрата в двумя точками. В результате получается перекрытие, образующее октагон, и всего 8 точек пересечения.

Пошагово:

1. Определим, что за каждая сторона одного квадрата может пересечь границу другого квадрата максимум в двух точках (почему: прямая пересекает выпуклый квадрат в двух точках максимум).
2. У двух квадратов по 4 стороны каждая, значит максимум пересечений сторон — 8.
3. Существуют конфигурации, достигающие этого числа: возьмём два равных квадрата, один повернём относительно другого на угол, отличный от специальных позиций (не 0°, не 45°, не 90° и т.д.). В такой конфигурации каждая сторона первого квадрата пересекает границу второго квадрата в двух точках, и мы получаем 8 пересечений. При этом нет ни одной вершины одного квадрата на стороне другого, как и требовалось.

Ответ: максимальное число точек пересечения сторон двух равных квадратов равно 8.