В классе каждый ученик посещает хотя бы один из трёх кружков. При этом математический кружок посещает 18 учащихся, художественный - 8, танцевальный — 10. Некоторые из учащихся…
В классе каждый ученик посещает хотя бы один из трёх кружков. При этом математический кружок посещает 18 учащихся, художественный - 8, танцевальный — 10. Некоторые из учащихся посещают несколько кружков. Двое посещают математический и художественный, шестеро - математический и танцевальный, а трое — художественный и танцевальный. Один ученик посещает все три кружка. Сколько всего учеников в классе?
Дано: в классе есть три кружка — математический (М), художественный (Х), танцевальный (Т).
Из условий:
- |М| = 18, |Х| = 8, |Т| = 10
- |М ∩ Х| = 2, |М ∩ Т| = 6, |Х ∩ Т| = 3
- |М ∩ Х ∩ Т| = 1
Нам нужно найти |М ∪ Х ∪ Т| — сколько всего учеников посещает хотя бы один кружок.
Шаг 1. Применим формулу включения-исключения для трёх множеств: |М ∪ Х ∪ Т| = |М| + |Х| + |Т| − |М ∩ Х| − |М ∩ Т| − |Х ∩ Т| + |М ∩ Х ∩ Т|
Подставляем значения: = 18 + 8 + 10 − 2 − 6 − 3 + 1 = 36 − 11 + 1 = 26
Ответ: всего в классе 26 учеников.
Дополнительная проверка (разбиение на части): Обозначим числа по областям пересечения:
- g = М ∩ Х ∩ Т = 1
- d = только М ∩ Х (без Т)
- e = только М ∩ Т (без Х)
- f = только Х ∩ Т (без М)
Из условий:
- М ∩ Х = d + g = 2 → d = 1
- М ∩ Т = e + g = 6 → e = 5
- Х ∩ Т = f + g = 3 → f = 2
Теперь посчитаем людей, входящих в каждый кружок по одному:
- Только М: a = 18 − (d + e + g) = 18 − (1 + 5 + 1) = 11
- Только Х: b = 8 − (d + f + g) = 8 − (1 + 2 + 1) = 4
- Только Т: c = 10 − (e + f + g) = 10 − (5 + 2 + 1) = 2
Сумма всех областей: 11 + 4 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 = 26. Подтверждает ответ.
