Найдите сумму всех четырёхзначных натуральных чисел, в записи каждого из которых присутствуют все цифры от 1 до 4 по одному разу.

Цель: Понять — подробное решение с объяснениями.

Задача: Найти сумму всех четырёхзначных чисел, в записи каждого из которых присутствуют все цифры 1, 2, 3, 4 по одному разу.

Пояснение и решение:

• Всего таких чисел 4! = 24, поскольку цифры 1,2,3,4 можно располагать в любом порядке.
• В каждой позиции (тысячи, сотни, десятки, единицы) каждая цифра из набора {1,2,3,4} встречается одинаковое число раз: это 3! = 6 раз.
• Сумма цифр: S = 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

Теперь посчитаем вклад каждой позиции:

• В тысячи: 1000 * 6 раз * S = 1000 * 6 * 10 = 60000
• В сотни: 100 * 6 раз * S = 100 * 6 * 10 = 6000
• В десятки: 10 * 6 раз * S = 10 * 6 * 10 = 600
• В единицы: 1 * 6 раз * S = 1 * 6 * 10 = 60

Сумма всех чисел равна сумме вкладов всех позиций: 60000 + 6000 + 600 + 60 = 66660

Альтернативно: среднее значение таких чисел равно среднему значению цифр на каждой позиции, то есть (1+2+3+4)/4 = 2.5 для каждой позиции, числовая сумма всех позиций даёт 2.5 * 1111 = 2777.5 как среднее число, и 24 таких чисел дают 24 * 2777.5 = 66660.

Ответ: 66660.