как определить в какой точке криволинейной траектории больше скорость при помощи тангенса

Короткий ответ: только по тангенсу нельзя определить, в какой точке траектории скорость больше. Тангенс даёт направление касательной (угол наклона), но для величины скорости нужно знать скорость изменения координат во времени (dx/dt и dy/dt). Но если вы знаете как меняется x во времени (dx/dt) или сами имеете параметризацию, можно посчитать скорость через тангенс.

Детальное решение по шагам

1. В чем скорость равна

• Пусть траектория задана парами координат как x(t), y(t). Скорость — модуль вектора скорости: v(t) = sqrt( (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 ).

• У касательной угол θ между касательной и осью x выполняется tan θ = dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) (при dx/dt ≠ 0).

2. Связь между v и tan θ

• Если dx/dt ≠ 0, можно записать dy/dt = (dy/dx) · (dx/dt) = p · (dx/dt), где p = dy/dx.
• Тогда скорость: v^2 = (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 = (dx/dt)^2 + (p dx/dt)^2 = (dx/dt)^2 (1 + p^2). Значит v = |dx/dt| · sqrt(1 + p^2) = |dx/dt| · sqrt(1 + tan^2 θ) = |dx/dt| · sec θ.

3. Как сравнить скорости в двух точках

• Если на двух точках dx/dt одинаково (одиначная скорость движения по оси x), то v пропорциональна sqrt(1 + p^2) = sqrt(1 + tan^2 θ) = sec θ.
• Таким образом, при фиксированном dx/dt скорость больше там, где |tan θ| больше (то есть касательная ближе к вертикали).
• Если же dx/dt различается между точками, нужно считать v по формуле v = sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) для каждой точки и сравнить полученные числа.

4. Что делать, если вы знаете только тангенс

• Если у вас есть только dy/dx = p(x) и ничего не известно про dx/dt, то определить скорость на точке нельзя.
• Пример: две точки с разными уклонами p1 и p2. Для сравнения нужны значения dx/dt в этих точках. Без них скорости не сравнить.

5. Простой пример (наглядно)

• Пусть траектория y = f(x) и скорость по x постоянна: dx/dt = c (например, c = 2 м/с).
• Тогда v = |dx/dt| sqrt(1 + (dy/dx)^2) = 2 · sqrt(1 + (f'(x))^2).
• Значит, чем больше |f'(x)| на точке (то есть чем больше |tan θ|), тем больше скорость.
• Пример: y = x^2. На точке x = 1: p = dy/dx = 2x = 2 → v = 2·sqrt(1+4) = 2√5. На точке x = 2: p = 4 → v = 2·sqrt(1+16) = 2√17. Скорость выше там, где угол касательной больше.

6. Ключевые выводы

• Скорость зависит не только от направления траектории (тангенса), но и от того, как быстро изменяются координаты во времени.
• Формула v = |dx/dt| sec θ полезна, если известно значение dx/dt в сравниваемых точках.
• Без дополнительной информации о темпе движения (dx/dt или dy/dt) по одному тангенсу невозможно определить, где скорость больше.

Если хотите, можно разобрать конкретную задачу: дайте траекторию (например, y = f(x)) и известны скорости изменения по x в двух точках (или параметризация x(t), y(t)). Тогда могу посчитать и сравнить скорости по шагам.