X+2y-3z=-6 3x+2y-4z=-11 2x-y=-4 Решить методом гаусса без дробей

Решим систему методом Гаусса без дробей.

1. Запишем аугментированную матрицу: (1) x + 2y - 3z = -6 (2) 3x + 2y - 4z = -11 (3) 2x - y = -4

   Аугментированная матрица: [ 1 2 -3 | -6 ] [ 3 2 -4 | -11] [ 2 -1 0 | -4 ]

2. Исключим x из строк 2 и 3: R2 <- R2 - 3R1: [0, -4, 5 | 7] R3 <- R3 - 2R1: [0, -5, 6 | 8]

   Теперь матрица: [ 1 2 -3 | -6 ] [ 0 -4 5 | 7 ] [ 0 -5 6 | 8 ]

3. Исключим y из R3, используя R2. Пусть R3 := (-4)R3 + 5R2: (-4)R3 = [0, 20, -24 | -32] 5R2 = [0, -20, 25 | 35] Сумма = [0, 0, 1 | 3]

   Матрица стала: [ 1 2 -3 | -6 ] [ 0 -4 5 | 7 ] [ 0 0 1 | 3 ]

4. Дорешаем снизу вверх: R2 <- R2 - 5R3: [0, -4, 0 | -8] R1 <- R1 + 3R3: [1, 2, 0 | 3]

   Теперь треугольная форма: [ 1 2 0 | 3 ] [ 0 -4 0 | -8 ] [ 0 0 1 | 3 ]

5. Решение: z = 3 -4y = -8 ⇒ y = 2 x + 2y = 3 ⇒ x = 3 - 4 = -1

Ответ: x = -1, y = 2, z = 3.

Проверка: -1 + 2·2 - 3·3 = -1 + 4 - 9 = -6 3(-1) + 2·2 - 4·3 = -3 + 4 - 12 = -11 2(-1) - 2 = -2 - 2 = -4 Все верно.