В кубе ABCDA1B1С1D1 , точки М, N и К являются серединами рёбер A1B1, A1D1 и A1A
соответственно. Найди площадь треугольника MNK, если площадь треугольника AB1 D1 равна 48.
Решение (пошагово, с объяснениями)
1) Обозначения и координаты
- Пусть сторона куба равна s.
- Зададим координаты вершин: A(0,0,0), B(s,0,0), C(s,s,0), D(0,s,0); вершины над ними: A1(0,0,s), B1(s,0,s), C1(s,s,s), D1(0,s,s).
2) Точки M, N, K
- M — середина A1B1: M = ((0+s)/2, (0+0)/2, (s+s)/2) = (s/2, 0, s).
- N — середина A1D1: N = ((0+0)/2, (0+s)/2, (s+s)/2) = (0, s/2, s).
- K — середина A1A: K = ((0+0)/2, (0+0)/2, (s+s)/2) = (0, 0, s/2).
3) Площадь треугольника MNK
Рассмотрим векторы из точки N:
- a = M − N = (s/2, −s/2, 0)
- b = K − N = (0, −s/2, −s/2)
Площадь треугольника MNK равна 1/2 ||a × b||. Вычислим перекресток:
a × b = (s^2/4, s^2/4, −s^2/4)
Модуль:
||a × b|| = sqrt((s^2/4)^2 + (s^2/4)^2 + (s^2/4)^2) = (s^2/4)√3
Тогда площадь MNK:
S_MNK = 1/2 · (s^2/4)√3 = (√3/8) s^2.
4) Площадь треугольника AB1D1
Векторы:
- AB1 = B1 − A = (s, 0, s)
- AD1 = D1 − A = (0, s, s)
cross AB1 × AD1 = (−s^2, 0, s^2), модуль = s^2√2.
Площадь AB1D1:
S_AB1D1 = 1/2 · s^2√2.
По условию S_AB1D1 = 48, значит:
(s^2√2)/2 = 48 ⇒ s^2 = 48√2.
5) Находим S_MNK
S_MNK = (√3/8) · s^2 = (√3/8) · 48√2 = 6√6.
Ответ: площадь треугольника MNK равна 6√6.
