В четырехугольнике ABCD AB=BC, AD=DC. Доказать, что AC BD

Задача: в четырехугольнике ABCD при AB = BC и AD = DC доказать, что AC ⟂ BD.

Краткое решение (смысл): точки, равноудаленные от A и C, лежат на перпендикулярной биссектрисе отрезка AC. Так как AB = BC, точка B лежит на этой биссектрисе, а так же AD = DC заставляет точку D тоже лежать на той же биссектрисе. Следовательно прямая BD совпадает с перпендикулярной биссектрисой к AC, значит BD ⟂ AC (и BD пересекает AC в середине последнего).

Пошагово:

1. AB = BC означает, что точка B находится на множестве точек, равноудалённых от A и от C. Это множество образует перпендикулярную биссектрису от AC.
2. AD = DC означает, что точка D также лежит на той же перпендикулярной биссектрисе AC.
3. Следовательно B и D лежат на одной прямой — на перпендикулярной биссектрисе AC. Эта прямая и есть BD.
4. Значит BD ⟂ AC. Также BD пересекает AC в её середине (в точке середины AC).

Дополнительно альтернативное доказательство через координаты (для наглядности):

• Пусть A = (−1, 0), C = (1, 0). Тогда любая точка, равноудалённая от A и C, имеет x = 0.
• Тогда B = (0, b), D = (0, d) для каких-либо b, d.
• Прямая BD — это вертикальная ось x = 0, а AC лежит на оси x. Следовательно BD ⟂ AC.

Итог: в условии AB = BC и AD = DC диагонали AC и BD перпендикулярны: AC ⟂ BD.