На факультете иностранных языков есть три кружка для студентов: кружок испанского языка, французского языка и немецкого языка. В кружке испанского языка занимается 3030 студентов,…
На факультете иностранных языков есть три кружка для студентов: кружок испанского языка, французского языка и немецкого языка. В кружке испанского языка занимается 3030 студентов, в кружке французского — 2525 студентов, немецкого — 2020 студентов. 1010 студентов занимаются и испанским, и французским, 55 — и испанским, и немецким, 33 студента занимаются и французским, и немецким языками. Известно, что 22 студента изучают все три языка одновременно.
Дано три круга (множества языков):
- S — испанский: |S| = 3030
- F — французский: |F| = 2525
- N/Г — немецкий: |G| = 2020
Пересечения (включая троек):
- |SF| = 1010 (испанский и французский)
- |SG| = 55 (испанский и немецкий)
- |FG| = 33 (французский и немецкий)
- |SFG| = 22 (все три языка)
Задача обычно состоит в том, чтобы найти число студентов, занимающихся хотя бы одним языком, а также распределение по категориям: только один язык, только два языка, все три языка.
- Поиск числа, занимающихся хотя бы одним языком (формула включения-исключения) |S ∪ F ∪ G| = |S| + |F| + |G| − |SF| − |SG| − |FG| + |SFG|
Подстановка: = 3030 + 2525 + 2020 − 1010 − 55 − 33 + 22 = 7575 − 1098 + 22 = 6499
Итого: 6499 студентов занимаются хотя бы одним языком.
- Разбивка на категории (точно один язык)
Только испанский: |S only| = |S| − |SF| − |SG| + |SFG| = 3030 − 1010 − 55 + 22 = 3030 − 1065 + 22 = 1987
Только французский: |F only| = |F| − |SF| − |FG| + |SFG| = 2525 − 1010 − 33 + 22 = 2525 − 1043 + 22 = 1504
Только немецкий: |G only| = |G| − |SG| − |FG| + |SFG| = 2020 − 55 − 33 + 22 = 2020 − 88 + 22 = 1954
- Разбивка на категории (точно два языка, без трёх)
Испанский и французский, но без немецкого: |SF only| = |SF| − |SFG| = 1010 − 22 = 988
Испанский и немецкий, без французского: |SG only| = |SG| − |SFG| = 55 − 22 = 33
Французский и немецкий, без испанского: |FG only| = |FG| − |SFG| = 33 − 22 = 11
- Проверка Сумма всех категорий должна равняться общему числу занимающихся хотя бы одним языком: 1987 (S only) + 1504 (F only) + 1954 (G only) + 988 (SF only) + 33 (SG only) + 11 (FG only) + 22 (SFG) = 6499. Это согласуется с результатом пункта 1.
Итоги:
- Всего студентов, занимающихся хотя бы одним языком: 6499
- Только испанский: 1987
- Только французский: 1504
- Только немецкий: 1954
- Испанский и французский (без немецкого): 988
- Испанский и немецкий (без французского): 33
- Французский и немецкий (без испанского): 11
- Все три языка: 22
Если нужно, могу привести аналогичное решение под другую формулировку задачи (например, сколько студентов занимаются ровно одним языком, сколько — ровно двумя и т.д.) или проверить, как бы выглядело ответное число при изменении входных данных.
