1. Дан правильный тетраэдр DABC с ребром AB = 10. Найдите периметр сечения тетраэдра плоскостью MNK

Задача неполная: не указано, где расположены точки M, N, K. Однако в таком контексте часто берут именно середины ребер, исходящих из вершины D: M — середина DA, N — середина DB, K — середина DC. Рассмотрим этот случай (построение сечения через середины ребер, выходящих из одной вершины).

Данные:

• Тетраэдр DABC является правильным, значит все ребра равны.
• AB = 10, следовательно любая сторона тетраэдра a = 10.

Шаги решения:

1. Планка через середины DM, DN, DK параллельна противолежащей грани ABC. Это известно для любой фигуры: плоскость через середины трёх рёбер, emanating from одной вершины, образует треугольник, параллельный противоположной гранни.

2. Площадь сечения MNK аналогична основанию ABC и масштабироваться будет в отношении 1/2, потому что каждое из отрезков DM, DN, DK равно a/2.

3. Следовательно сторонам MN, NK, KM соответствуют сторонам AB, BC, CA и равны их половине: MN = AB/2 = 10/2 = 5 NK = BC/2 = 10/2 = 5 KM = CA/2 = 10/2 = 5

4. Периметр сечения MNK: P = MN + NK + KM = 5 + 5 + 5 = 15

Ответ: 15

Примечание:

• Если бы M,N,K были серединами ребер основания ABC (то есть плоскость совпала бы с плоскостью основания), то сечение было бы самим основанием ABC и периметр был бы 30.
• В большинстве задач под MNK понимают именно середины ребер, выходящих из одной вершины, что даёт ответ 15.