А) Докажите равносильность неравенств: 5sin²x-3sinxcosx-2cos²x>0 n5tg^2-x-3tgx-2>0

Задача: доказать равносильность неравенств 5 sin^2 x − 3 sin x cos x − 2 cos^2 x > 0 и 5 tan^2 x − 3 tan x − 2 > 0. Цель: понять процесс перехода и решить получившееся неравенство. 1) Замена t = tan x (домейн cos x ≠ 0) - При cos x ≠ 0 можно записать: sin^2 x = t^2/(1+t^2), sin x cos x = t/(1+t^2), cos^2 x = 1/(1+t^2). - Подставим в левую часть: 5 sin^2 x − 3 sin x cos x − 2 cos^2 x = [5 t^2 − 3 t − 2] / (1 + t^2). - Поскольку 1 + t^2 > 0 для любого реального t, знак дроби совпадает с знаком числителя. - Значит, для всех x с cos x ≠ 0 неравенство 5 sin^2 x − 3 sin x cos x − 2 cos^2 x > 0 эквивалентно 5 t^2 − 3 t − 2 > 0 при t = tan x. Итак, равносильность доказана на множестве x, где cos x ≠ 0. 2) Решение квадратного неравенства - Разложим 5 t^2 − 3 t − 2 > 0. - Найдём корни квадратного уравнения 5 t^2 − 3 t − 2 = 0: Δ = (-3)^2 − 4·5·(-2) = 9 + 40 = 49, t = [3 ± 7]/(2·5) ⇒ t1 = (-4)/10 = -2/5, t2 = 10/10 = 1. - Поскольку коэффициент при t^2 положительный, неравенство больше нуля выполняется вне корней: t ∈ (-∞, -2/5) ∪ (1, ∞). Итак, при cos x ≠ 0 имеем: tan x ∈ (-∞, -2/5) ∪ (1, ∞). 3) Обратно к x и учёт случаев cos x = 0 - Из предыдущего следует: все x с tan x ∈ (-∞, -2/5) ∪ (1, ∞) и cos x ≠ 0 являются решениями. - Но что насчёт cos x = 0? Эти x не попадают в замену t = tan x (тангенс не определён), поэтому проверим отдельно: x = π/2 + kπ (k ∈ Z): тогда sin x = ±1, cos x = 0, и 5 sin^2 x − 3 sin x cos x − 2 cos^2 x = 5·1 − 0 − 0 = 5 > 0. Значит такие x тоже являются решениями. 4) Итоговое решение - Для cos x ≠ 0 неравенство эквивалентно 5 tan^2 x − 3 tan x − 2 > 0, то есть tan x ∈ (-∞, -2/5) ∪ (1, ∞). - Для cos x = 0 (x = π/2 + kπ) неравенство также выполняется. Общее решение: - x такие, что tan x ∈ (-∞, -2/5) ∪ (1, ∞) (то есть tan x меньше -2/5 или больше чем 1), с любым целым k периодом по π, - либо x = π/2 + kπ, где k ∈ Z. Если нужно, можно привести конкретную формулировку в виде интервалов по x в каждом периоде, но в общем виде это: - tan x < -2/5 или tan x > 1, плюс все x с cos x = 0.