sin x -cos x= 1

Задача: sin x − cos x = 1

Решение (общий вид, для всех x, не ограничено рамками конкретного класса):

1. Приведём левую часть к однообразной форме. sin x − cos x = √2 · sin(x − π/4), потому что sin(x − π/4) = (sin x cos(π/4) − cos x sin(π/4)) = (√2/2)(sin x − cos x).

2. Подставим в уравнение: √2 · sin(x − π/4) = 1 ⇒ sin(x − π/4) = 1/√2 = √2/2.

3. Найдём все значения t = x − π/4, которые дают sin t = √2/2. Тригонная функция sin t равна √2/2 в точках t = π/4 + 2πk и t = 3π/4 + 2πk, где k ∈ Z.

4. Вернёмся к x: x − π/4 = π/4 + 2πk ⇒ x = π/2 + 2πk или x − π/4 = 3π/4 + 2πk ⇒ x = π + 2πk (k ∈ Z)

Итак, все решения уравнения:

• x = π/2 + 2πk, или
• x = π + 2πk, где k — любое целое число.

Проверка (для наглядности):

• x = π/2: sin(π/2) − cos(π/2) = 1 − 0 = 1.
• x = π: sin(π) − cos(π) = 0 − (−1) = 1.

Если нужно записать решения на отрезке [0, 2π): x ∈ {π/2, π}.