4z⁴=73z²-144

Решение задачи: 4z^4 = 73z^2 - 144

Подход 1. Замена переменной (классический метод для квадратного по z^2)

1. Перепишем уравнение в стандартном виде: 4z^4 - 73z^2 + 144 = 0

2. Введём t = z^2 (t ≥ 0 для вещественных z). Получаем квадратное уравнение: 4t^2 - 73t + 144 = 0

3. Найдём дискриминант: D = (-73)^2 - 4·4·144 = 5329 - 2304 = 3025 sqrt(D) = 55

4. Найдём корни t: t = (73 ± 55) / (2·4) = (73 ± 55) / 8 t1 = (73 + 55)/8 = 128/8 = 16 t2 = (73 - 55)/8 = 18/8 = 9/4

5. Возвращаемся к z: z^2 = 16 ⇒ z = ±4 z^2 = 9/4 ⇒ z = ±3/2

6. Ответ: z ∈ { -4, -3/2, 3/2, 4 }.

Подход 2. Факторизация (быстрый способ)

1. Уравнение можно переписать как: 4z^4 - 73z^2 + 144 = 0 и разложить как квадратное в z^2: 4t^2 - 73t + 144 = (4t - 9)(t - 16) при t = z^2

2. Тогда: (4z^2 - 9)(z^2 - 16) = 0

3. Решения: z^2 = 9/4 ⇒ z = ±3/2 z^2 = 16 ⇒ z = ±4

4. Ответ: z ∈ { -4, -3/2, 3/2, 4 }.

Проверка (необязательно, но полезно):

• Для z = 4: левая часть 4z^4 = 4·256 = 1024; правая часть 73z^2 - 144 = 73·16 - 144 = 1168 - 144 = 1024.
• Для z = 3/2: z^2 = 9/4, z^4 = 81/16; левая 4z^4 = 81/4; правая 73·(9/4) - 144 = 657/4 - 144 = 81/4. Оба совпадают.

Если нужно, могу привести аналогии и дополнительные примеры по подобным уравнениям.