х⁴-5х²-36=0

Задача: x^4 - 5x^2 - 36 = 0

Цель: понять и получить подробное решение.

Пошаговое решение

1. Заметим, что уравнение бикубическое по степени: в выражении встречается только x^4 и x^2. Введём переменную y = x^2. Тогда уравнение преобразуется в квадратное: y^2 - 5y - 36 = 0.

2. Решим квадратное уравнение по дискриминанту: D = (-5)^2 - 4·1·(-36) = 25 + 144 = 169. sqrt(D) = 13.

   Корни уравнения в переменной y: y1 = (5 + 13)/2 = 18/2 = 9, y2 = (5 - 13)/2 = -8/2 = -4.

3. Возвращаемся к x:

   • Из y = x^2 = 9: x^2 = 9 → x = ±3.
   • Из y = x^2 = -4: x^2 = -4 → x = ±2i (комплексные корни).

4. Факторизация (для ясности): x^4 - 5x^2 - 36 = (x^2 - 9)(x^2 + 4) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 4). Реальные корни получаем из x^2 - 9 = 0 → x = ±3. Комплексные корни из x^2 + 4 = 0 → x = ±2i.

Итог

• Реальные корни: x = -3, x = 3.
• Комплексные корни (для полноты): x = 2i, x = -2i.
• Проверка (пример): подставим x = 3: 3^4 - 5·3^2 - 36 = 81 - 45 - 36 = 0. Всё верно.