Вероятность неточной сборки прибора равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 500 приборов окажется более 410 и менее 430 годных приборов.

Задача сводится к биномиальному распределению.

Что известно

• Вероятность годного прибора (успех) p = 1 - 0.2 = 0.8
• Общее число приборов n = 500
• Пусть X — число годных приборов среди 500. Тогда X ~ Binomial(n=500, p=0.8)
• Требуемая вероятность: более 410 и менее 430 годных, т.е. 411 ≤ X ≤ 429

1. Точное выражение P(411 ≤ X ≤ 429) = sum_{k=411}^{429} C(500, k) (0.8)^k (0.2)^{500-k}

Это можно посчитать точно на компьютере (например, pbinom(429, 500, 0.8) − pbinom(410, 500, 0.8)).

2. Приближённое значение — нормальное приближение (CLT) Так как n велико и оба n p и n (1−p) велики, можно использовать нормальное приближение:

• μ = E[X] = n p = 500 × 0.8 = 400
• σ^2 = Var(X) = n p (1−p) = 500 × 0.8 × 0.2 = 80, значит σ ≈ 8.944

С учетом непрерывности для диапазона 411 ≤ X ≤ 429 используем границы 410.5 и 429.5:

• z_low = (410.5 − 400) / 8.944 ≈ 1.174
• z_high = (429.5 − 400) / 8.944 ≈ 3.299

Тогда P(411 ≤ X ≤ 429) ≈ Φ(3.299) − Φ(1.174)

• Φ(3.299) ≈ 0.9995
• Φ(1.174) ≈ 0.880

Итого ≈ 0.9995 − 0.880 ≈ 0.1195

Ответ

• Точное выражение: P = sum_{k=411}^{429} C(500, k) (0.8)^k (0.2)^{500−k}
• Приближенно: P ≈ 0.12 (то есть примерно 12%)

Если нужно, могу привести точное численное значение с использованием калькулятора/binomial-процессора или показать пример кода на Python/R для расчета.