Точки А и Б делат окружность на дуги,градусные меры которых пропорциональны Числам 6 и 9 через точку А проведен диаметр АС.Вычислите градусные меры углов треугольника АВС

Задача решается в несколько шагов. Обозначим:

• Точки A и B лежат на окружности и делят её на две дуги AB: меньшую и большую. Их градусные меры пропорциональны числам 6 и 9, значит отношение дуг 2:3.
• Через точку A проведён диаметр AC, значит A и C — противоположные точки на окружности.

Ход решения:

1. Определим меры дуг AB:

• Пусть меньшая дуга AB имеет меру 2x°, большая — 3x°. Их сумма равна 360°: 2x + 3x = 360° → x = 72°.
• Значит меньшая дуга AB = 2x = 144°, большая дуга AB = 3x = 216°.

2. Найдём угол ∠ABC:

• По теореме Фалеса (диаметр как хорда, опирающаяся на точку B на окружности) любой угол, subtendированный диаметром AC, равен 90°. То есть ∠ABC = 90°.

3. Найдём остальные углы треугольника ABC:

• Угол ∠ACB сомкнутся с дугой AB, не содержащей C. Дуга AB не содержащая C — меньшая дуга AB размером 144°. Поэтому ∠ACB = 144° / 2 = 72°.
• Угол ∠CAB остаётся: ∠A = 180° − ∠B − ∠C = 180° − 90° − 72° = 18°. Альтернатива: ∠CABSubs subtends дугу BC; длина дуги BC равна разнице углов между B и C (180° − 144° = 36°), следовательно ∠CAB = 36°/2 = 18°.

Ответ:

• ∠A = 18°
• ∠B = 90°
• ∠C = 72°