Спускаемый аппарат массой 2900 кг с космонавтами на борту отсоединился от международной космической станции (МКС), находящейся на высоте 400 км над поверхностью Земли. Какая масса…
Спускаемый аппарат массой 2900 кг с космонавтами на борту отсоединился от международной космической станции (МКС), находящейся на высоте 400 км над поверхностью Земли. Какая масса сгоревшего топлива маршевого двигателя должна вылететь из его сопла, чтобы скорость спускаемого аппарата уменьшилась на 1%? Временем вылета продуктов горения из сопла можно пренебречь. Ускорение свободного падения на орбите МКС равно 8,63 м/с2. Радиус Земли равен 6400 км. Скорость истечения раскаленных газов из сопла равна 11 км/с. Ответ укажите в СИ и округлите до десятых.
Решение по шагам.
Данные и смысл:
- Масса спускаемого аппарата без сгоревшего топлива (модельно — сухая масса): M_dry = 2900 кг.
- Высота над поверхностью: h = 400 км → r = R_Зeм = 6400 км + 400 км = 6800 км = 6.8 × 10^6 м.
- Ускорение на орбите: g_orbit = 8.63 м/с².
- Скорость истечения газов: v_e = 11 км/с = 11000 м/с.
- Цель: скорость аппарата уменьшить на 1% относительно его орбитальной скорости.
Найдём орбитальную скорость на высоте 400 км. Для круговой орбиты v = sqrt(g_orbit · r). v ≈ sqrt(8.63 × 6.8×10^6) ≈ sqrt(5.868×10^7) ≈ 7.66×10^3 м/с.
Определим требуемое снижение скорости (1% от орбитальной скорости). Δv = 0.01 × v ≈ 0.01 × 7.66×10^3 ≈ 76.6 м/с.
Применим уравнение ракет (Тсиолковского): Δv = v_e · ln(M0 / Mf), где Mf = M_dry (после сгорания топлива) и M0 = M_dry + Δm (до сгорания топлива). Отсюда Δm = M_dry · [exp(Δv / v_e) − 1].
Подставим значения: Δv / v_e = 76.6 / 11000 ≈ 0.00696. exp(Δv / v_e) ≈ exp(0.00696) ≈ 1.00699. Δm ≈ 2900 × (1.00699 − 1) ≈ 2900 × 0.00699 ≈ 20.3 кг.
Ответ (в СИ, округлено до десятых): примерно 20.3 кг сгоревшего топлива.
Примечание: если считать, что 2900 кг указано как общая масса до сгорания топлива (то есть M0 = 2900 кг), то Δm ≈ 2900 × (1 − exp(−Δv/v_e)) ≈ 20.1 кг. Разница невелика для таких данных.
