Известно, что средняя масса упаковки наполнителя для игрушек равна 500 г, а стандартное отклонение от средней массы равно 40 г. При помощи неравенства Чебышева оцените вероятность…
Известно, что средняя масса упаковки наполнителя для игрушек равна 500 г, а стандартное отклонение от средней массы равно 40 г. При помощи неравенства Чебышева оцените вероятность события "масса наполнителя в случайно выбранной упаковке отличается от средней более чем на 75 г". Ответ округлите до тысячных.
Задача: по неравенству Чебышева оценить P(|X − μ| > 75), где средняя масса μ = 500 г, стандартное отклонение σ = 40 г.
Пояснение и решение пошагово:
- Найдём дисперсию.
- Var(X) = σ^2 = 40^2 = 1600.
- Применим неравенство Чебышева.
- Для любой случайной величины X с математическим ожиданием μ и дисперсией Var(X):
P(|X − μ| ≥ a) ≤ Var(X) / a^2, где a > 0.
- Подставим значения.
- a = 75 г, Var(X) = 1600.
- Вычисление границы.
- P(|X − μ| ≥ 75) ≤ 1600 / 75^2 = 1600 / 5625 = 64 / 225 ≈ 0.284444...
- Округление до тысячных.
- 0.284 (до тысячных).
Ответ: вероятность того, что масса наполнителя в случайно выбранной упаковке отличается от средней более чем на 75 г, по неравенству Чебышева не превышает примерно 0.284 (28.4%).
Комментарий: это верхняя граница — реальная вероятность может быть меньше. Неравенство Чебышева не требует знания конкретного распределения и зависит только от среднего и дисперсии.
