2x - 3y + z = 1 4x + 3y - 3z = 3 x + 7y - 4z = 3 решить методом Гаусса

Задача: решить систему методом Гаусса 2x - 3y + z = 1 4x + 3y - 3z = 3 x + 7y - 4z = 3

1. Запишем аугментированную матрицу [ 2 -3 1 | 1 ] [ 4 3 -3 | 3 ] [ 1 7 -4 | 3 ]

2. Нули в первом столбце ниже ведущего элемента в первом столбце

• R2 ← R2 - 2·R1 [ 0 9 -5 | 1 ]
• R3 ← 2·R3 - R1 [ 0 17 -9 | 5 ]

Матрица стала [ 2 -3 1 | 1 ] [ 0 9 -5 | 1 ] [ 0 17 -9 | 5 ]

3. Нули во втором столбце под ведущим элементом в R2

• R3 ← 9·R3 - 17·R2 R3 becomes [0, 0, 4 | 28]

Матрица: [ 2 -3 1 | 1 ] [ 0 9 -5 | 1 ] [ 0 0 4 | 28 ]

4. Нормализация последнего уравнения

• R3 ← R3 / 4 R3 = [0, 0, 1 | 7]

Матрица: [ 2 -3 1 | 1 ] [ 0 9 -5 | 1 ] [ 0 0 1 | 7 ]

5. Обратная подсчёт (общее трюмо для двух последних переменных) Из R3: z = 7

Из R2: 9y - 5z = 1 ⇒ 9y - 5·7 = 1 ⇒ 9y = 36 ⇒ y = 4

Из R1: 2x - 3y + z = 1 ⇒ 2x - 3·4 + 7 = 1 ⇒ 2x - 12 + 7 = 1 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3

6. Проверка

• Подстановка в оригинальные уравнения: 2·3 - 3·4 + 7 = 6 - 12 + 7 = 1 ✓ 4·3 + 3·4 - 3·7 = 12 + 12 - 21 = 3 ✓ 1·3 + 7·4 - 4·7 = 3 + 28 - 28 = 3 ✓

Ответ: x = 3, y = 4, z = 7.