Высота и медиана треугольника, проведены из вершины прямого угла, равны соответственно 4 и 5 см. Найдите меньший катет треугольника.

Задача: в прямоугольном треугольнике высота и медиана, проведённые из вершины прямого угла, равны соответственно 4 см и 5 см. Найти меньший катет.

Обозначим стороны:

• Катеты: a и b (a ≤ b)
• Гипотенуза: c

Известно:

• Медиана к гипотенузе: m = c/2 = 5 ⇒ c = 10
• Высота к гипотенузе: h = ab / c = 4 ⇒ ab = 4 * 10 = 40

Теперь используем пифагорово тождества и связь между суммой/произведением катетов:

• a^2 + b^2 = c^2 = 100
• (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 100 + 80 = 180 ⇒ a + b = √180 = 6√5
• (a − b)^2 = a^2 + b^2 − 2ab = 100 − 80 = 20 ⇒ |a − b| = √20 = 2√5

Так как a ≤ b, имеем: a = ( (a + b) − (a − b) ) / 2 = (6√5 − 2√5) / 2 = 4√5 / 2 = 2√5

Следовательно, меньший катет равен 2√5 см ≈ 4,47 см.