Вычислите неопределенный интеграл integrate 1/(root(3x - 2, 3)) dx

Задача: вычислить неопределённый интеграл ∫ 1/(∛(3x - 2)) dx = ∫ (3x - 2)^(-1/3) dx. Пошаговое решение (для 11 класса, цель — понять): 1) Приведём подинтегральную функцию к степенному виду: 1/(∛(3x - 2)) = (3x - 2)^(-1/3). 2) Сделаем замену переменной: Пусть u = 3x - 2, тогда du = 3 dx, значит dx = du/3. 3) Применяем замену в интеграле: ∫ (3x - 2)^(-1/3) dx = ∫ u^(-1/3) · (1/3) du = (1/3) ∫ u^(-1/3) du. 4) Интегрируем степенную функцию: ∫ u^n du = u^(n+1)/(n+1) + C, здесь n = -1/3, так что n+1 = 2/3. Следовательно ∫ u^(-1/3) du = u^(2/3) / (2/3) = (3/2) u^(2/3). 5) Складываем результаты: (1/3) · (3/2) u^(2/3) = (1/2) u^(2/3). 6) Возвращаемся к x: F(x) = (1/2) (3x - 2)^(2/3) + C. Пояснения по доменной области: - Исходный интеграл имеет делитель ∛(3x - 2). Точка 3x - 2 = 0, т.е. x = 2/3, делает интегранд неопределённым. Следовательно antiderivative F(x) справедлива на любой области, не пересекающей x = 2/3 (например, на (-∞, 2/3) и (2/3, ∞)). В этих областях производная F′(x) восстанавливает подинтегральную функцию. - Проверка: derivative of (1/2)(3x - 2)^(2/3) равен (3x - 2)^(-1/3), то есть оригинальному интегралу. Окончательный ответ: F(x) = (1/2) (3x - 2)^(2/3) + C, на каждом из интервалов, не содержащих x = 2/3.