Вычислите неопределенный интеграл integrate 1/(root(3x - 2, 3)) dx
Задача: вычислить неопределённый интеграл ∫ 1/(∛(3x - 2)) dx = ∫ (3x - 2)^(-1/3) dx.
Пошаговое решение (для 11 класса, цель — понять):
Приведём подинтегральную функцию к степенному виду: 1/(∛(3x - 2)) = (3x - 2)^(-1/3).
Сделаем замену переменной: Пусть u = 3x - 2, тогда du = 3 dx, значит dx = du/3.
Применяем замену в интеграле: ∫ (3x - 2)^(-1/3) dx = ∫ u^(-1/3) · (1/3) du = (1/3) ∫ u^(-1/3) du.
Интегрируем степенную функцию: ∫ u^n du = u^(n+1)/(n+1) + C, здесь n = -1/3, так что n+1 = 2/3. Следовательно ∫ u^(-1/3) du = u^(2/3) / (2/3) = (3/2) u^(2/3).
Складываем результаты: (1/3) · (3/2) u^(2/3) = (1/2) u^(2/3).
Возвращаемся к x: F(x) = (1/2) (3x - 2)^(2/3) + C.
Пояснения по доменной области:
- Исходный интеграл имеет делитель ∛(3x - 2). Точка 3x - 2 = 0, т.е. x = 2/3, делает интегранд неопределённым. Следовательно antiderivative F(x) справедлива на любой области, не пересекающей x = 2/3 (например, на (-∞, 2/3) и (2/3, ∞)). В этих областях производная F′(x) восстанавливает подинтегральную функцию.
- Проверка: derivative of (1/2)(3x - 2)^(2/3) равен (3x - 2)^(-1/3), то есть оригинальному интегралу.
Окончательный ответ: F(x) = (1/2) (3x - 2)^(2/3) + C, на каждом из интервалов, не содержащих x = 2/3.
Обсуждение
2 сообщенияможешь писать прописью
Конечно!
Для вычисления неопределённого интеграла \( \int \frac{1}{\sqrt[3]{3x - 2}} \, dx \) мы выполним следующие шаги:
Приведение подинтегральной функции к степенному виду: Мы можем записать \( \frac{1}{\sqrt[3]{3x - 2}} \) как \( (3x - 2)^{-\frac{1}{3}} \).
Замена переменной: Сделаем замену: пусть \( u = 3x - 2 \). Тогда производная \( du = 3 \, dx \), что означает \( dx = \frac{du}{3} \).
Применение замены в интеграле: Подставим \( u \) в наш интеграл: \[ \int (3x - 2)^{-\frac{1}{3}} \, dx = \int u^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int u^{-\frac{1}{3}} \, du. \]
Интегрирование степенной функции: Интеграл \( \int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \), где \( n = -\frac{1}{3} \), поэтому \( n + 1 = \frac{2}{3} \). Следовательно, \[ \int u^{-\frac{1}{3}} \, du = \frac{u^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}. \]
Подстановка результата: Теперь подставляем обратно: \[ \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} u^{\frac{2}{3}}. \]
Возвращение к переменной \( x \): Вспоминаем, что \( u = 3x - 2 \), значит: \[ F(x) = \frac{1}{2} (3x - 2)^{\frac{2}{3}} + C, \] где \( C \) — произвольная константа интегрирования.
Таким образом, окончательный ответ на наш интеграл: \[ \int \frac{1}{\sqrt[3]{3x - 2}} \, dx = \frac{1}{2} (3x - 2)^{\frac{2}{3}} + C. \]
