Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см², а его гипотенуза равна 10 см. Каковы катеты треугольника?

Задача: прямоугольный треугольник с площадью 24 см² и гипотенузой 10 см. Найдём катеты.

Обозначим катеты через a и b, гипотенузу через c = 10.

1. По площади: (1/2) ab = 24 ⇒ ab = 48.
2. По теореме Пифагора: a^2 + b^2 = c^2 = 100.
3. Выберем сумму катетов через квадрат суммы: (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 100 + 2·48 = 100 + 96 = 196 ⇒ a + b = 14 (поскольку катеты положительные).
4. Система уравнений: a + b = 14 ab = 48 Катеты являются корнями уравнения t^2 − 14t + 48 = 0. Discriminant D = 14^2 − 4·48 = 196 − 192 = 4. t = (14 ± √4)/2 = (14 ± 2)/2 ⇒ t = 8 или t = 6.

Ответ: катеты треугольника равны 6 см и 8 см (6 и 8, гипотенуза 10). Проверка: 6·8/2 = 24 и 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100.